第361問の解答


問題[ 平面図形]

問題図

左図のような正方形ABCDがあります。

いま、頂点が辺AD上の点C'に重なるように折り返したところ、折り目が図のEFのようになりました。

また、△C'DFに注目して、∠C'FH∠HFD=3:1になるように線分FHを引いたところ、HD=4cm、DF=12cmとなりました。

このとき、折り目EF長さを求めてください。


解答例1

数楽者さん、Taroさん、佐藤 広宣さん、モルモット伯爵さん、DrKさん、有無相生さん、M.Hossieさん、kasamaさん、トトロ@Nさん、小西孝一さん、ミミズクはくず耳さん、 他多数

θ=∠HFD、EからBCと平行に引いた直線とCDの交点をIとします。

参考図1

△FCC'FC'FC二等辺三角形だから、
 ∠FC'C∠FCC

ところが、∠FC'C∠FCC=4θより、
 ∠FC'C∠FCC=2θ∠GFD

∠FEI∠FC'C=2θだから、△FEI△FGD相似と分かります。

さて、三角関数の倍角公式により、
tanθHD/DF1/3

従って、
 tan2θ=2tanθ/(1−tan2θ)
    =2×1/3/(1−(1/3)2)
    =3/4

 tan4θ=2tan2θ/(1−tan2θ)
    =2×3/4/(1−(3/4)2)
    =24/7

よって、
 △FGD、△FEIは、三辺の比が3:4:5
 △FC'Dは、三辺の比が7:24:25
直角三角形と分かります。

従って、
 C'F
DF×25/7=300/7cm
 DCDFFI
   
DFC'F
   
=12+300/7
   =384/7cm

よって、
 EFEI×5/4
   =DC×5/4
   =384/7
   =480/7cm
と求まります。

なお、△FEI△C'CDが合同より、EFCC'が成り立ちます。

: 480/7cm

以上


解答例2

拓パパさん、マサルさん、佐藤 広宣さん、すてっぷさん、dottoreさん、ふじさきたつみさん、遠い山のぽきょぽんさん、Octo Fenixさん、

解答例1とほぼ同じですが、三角関数を使用しないで計算しましょう。
HからGFに下ろした垂線の足D'GからC'Fに下ろした垂線の足D''とします。

参考図2

△FDH△FD'Hは合同で、
 △FDH△FD'H=1/2×12×4=24cm2

△HGD'△FGDについて、∠Gは共通、∠HD'G=∠FDG=90度より
2つの三角形は相似で、相似比はHD'FD=4:12=1:3

よって、△HGD'△FGD=1:9
 △FGD:四角形HD'FD=9:8
従って、△FGD四角形HD'FD×9/824×2×9/8=54cm2

よって、GD=54/12×2=9cmとなります。

ここで、GDFD=9:12=3:4なので、
 △FDGは辺の比が3:4:5直角三角形となります。

また、△FDG△FD''Gは合同で、
 △FD''G△FDG54cm2

△GC'D''△FC'Dは、∠C'は共通、∠GD''C'=∠FDC'=90度より
2つの三角形は相似で、相似比はGD''FD=9:12=3:4

よって、△GC'D''△FC'D=9:16
 △GC'D'':四角形GD''FD=16:7
従って、△FC'D四角形GD''FD×16/754×2×16/7=1728/7cm2

よって、C'D=(1728/2)/12×2=288/7cmとなります。

ここで、FDC'D=12:288/7=7:24なので、
 △FDGは辺の比が7:24:25直角三角形となります。

さて、△CDC'△FDGと相似な直角三角形なので、辺の比は3:4:5
よって、CC'C'D×5/3=288/7×5/3=480/7cm

従って、EFCC'480/7cmと求まります。


(その他の解法)