第３６１問の解答

問題［平面図形］

左図のような正方形ＡＢＣＤがあります。

いま、頂点Ｃが辺ＡＤ上の点Ｃ'に重なるように折り返したところ、折り目が図のＥＦのようになりました。

また、△Ｃ'ＤＦに注目して、∠Ｃ'ＦＨ：∠ＨＦＤ＝３：１になるように線分ＦＨを引いたところ、ＨＤ＝４cm、ＤＦ＝１２cmとなりました。

このとき、折り目ＥＦの長さを求めてください。

解答例１

数楽者さん、Taroさん、佐藤広宣さん、モルモット伯爵さん、DrKさん、有無相生さん、M.Hossieさん、kasamaさん、トトロ＠Ｎさん、小西孝一さん、ミミズクはくず耳さん、他多数

θ＝∠HFD、EからBCと平行に引いた直線とCDの交点をIとします。

△FCC'はFC'＝FCの二等辺三角形だから、
　∠FC'C＝∠FCC。

ところが、∠FC'C＋∠FCC＝４θより、
　∠FC'C＝∠FCC＝２θ＝∠GFD。

∠FEI＝∠FC'C＝２θだから、△FEIと△FGDは相似と分かります。

さて、三角関数の倍角公式により、
tanθ＝HD/DF＝１/３。

従って、
　tan２θ＝２tanθ／(１－tan²θ)
　　　　＝２×１/３／(１－（１/３）²)
　　　　＝３/４。

　tan４θ＝２tan２θ／(１－tan²２θ)
　　　　＝２×３/４／(１－（３/４）²)
　　　　＝２４/７。

よって、
　△FGD、△FEIは、三辺の比が３：４：５、
　△FC'Dは、三辺の比が７：２４：２５
の直角三角形と分かります。

従って、
　C'F＝DF×２５/７＝３００/７cm、
　DC＝DF＋FI
　　　＝DF＋C'F
　　　＝１２＋３００/７
　　　＝３８４/７cm。

よって、
　EF＝EI×５/４
　　　＝DC×５/４
　　　＝３８４/７
　　　＝４８０/７cm
と求まります。

なお、△FEIと△C'CDが合同より、EF＝CC'が成り立ちます。

答：　４８０/７cm

以上

解答例２

拓パパさん、マサルさん、佐藤広宣さん、すてっぷさん、dottoreさん、ふじさきたつみさん、遠い山のぽきょぽんさん、Octo Fenixさん、他

解答例１とほぼ同じですが、三角関数を使用しないで計算しましょう。
HからGFに下ろした垂線の足をD'、GからC'Fに下ろした垂線の足をD''とします。

△FDHと△FD'Hは合同で、
　△FDH＝△FD'H＝１/２×１２×４＝２４cm²。
△HGD'と△FGDについて、∠Gは共通、∠HD'G＝∠FDG＝９０度より
２つの三角形は相似で、相似比はHD'：FD＝４：１２＝１：３。
よって、△HGD'：△FGD＝１：９、
　△FGD：四角形HD'FD＝９：８、
従って、△FGD＝四角形HD'FD×９/８＝２４×２×９/８＝５４cm²。
よって、GD＝５４／１２×２＝９cmとなります。
ここで、GD：FD＝９：１２＝３：４なので、
　△FDGは辺の比が３：４：５の直角三角形となります。
また、△FDGと△FD''Gは合同で、
　△FD''G＝△FDG＝５４cm²。
△GC'D''と△FC'Dは、∠C'は共通、∠GD''C'＝∠FDC'＝９０度より
２つの三角形は相似で、相似比はGD''：FD＝９：１２＝３：４。
よって、△GC'D''：△FC'D＝９：１６、
　△GC'D''：四角形GD''FD＝１６：7、
従って、△FC'D＝四角形GD''FD×１６/7＝５４×２×１６/７＝１７２８/７cm²。
よって、C'D＝（１７２８/２）／１２×２＝２８８/７cmとなります。
ここで、FD：C'D＝１２：２８８/７＝７：２４なので、
　△FDGは辺の比が７：２４：２５の直角三角形となります。
さて、△CDC'は△FDGと相似な直角三角形なので、辺の比は３：４：５。
よって、CC'＝C'D×５/３＝２８８/７×５/３＝４８０/７cm。
従って、EF＝CC'＝４８０/７cmと求まります。

（その他の解法）

三平方の定理、余弦定理を使って計算　・・・　takaisaさん、他
　


	θ＝∠HFD、EからBCと平行に引いた直線とCDの交点をIとします。 △FCC'はFC'＝FCの二等辺三角形だから、　∠FC'C＝∠FCC。ところが、∠FC'C＋∠FCC＝４θより、　∠FC'C＝∠FCC＝２θ＝∠GFD。 ∠FEI＝∠FC'C＝２θだから、△FEIと△FGDは相似と分かります。さて、三角関数の倍角公式により、 tanθ＝HD/DF＝１/３。従って、　tan２θ＝２tanθ／(１－tan²θ) 　　　　＝２×１/３／(１－（１/３）²) 　　　　＝３/４。　tan４θ＝２tan２θ／(１－tan²２θ) 　　　　＝２×３/４／(１－（３/４）²) 　　　　＝２４/７。よって、　△FGD、△FEIは、三辺の比が３：４：５、　△FC'Dは、三辺の比が７：２４：２５の直角三角形と分かります。従って、　C'F＝DF×２５/７＝３００/７cm、　DC＝DF＋FI 　　　＝DF＋C'F 　　　＝１２＋３００/７　　　＝３８４/７cm。よって、　EF＝EI×５/４　　　＝DC×５/４　　　＝３８４/７　　　＝４８０/７cm と求まります。なお、△FEIと△C'CDが合同より、EF＝CC'が成り立ちます。答：　４８０/７cm 以上


	解答例１とほぼ同じですが、三角関数を使用しないで計算しましょう。 HからGFに下ろした垂線の足をD'、GからC'Fに下ろした垂線の足をD''とします。 △FDHと△FD'Hは合同で、　△FDH＝△FD'H＝１/２×１２×４＝２４cm²。 △HGD'と△FGDについて、∠Gは共通、∠HD'G＝∠FDG＝９０度より２つの三角形は相似で、相似比はHD'：FD＝４：１２＝１：３。よって、△HGD'：△FGD＝１：９、　△FGD：四角形HD'FD＝９：８、従って、△FGD＝四角形HD'FD×９/８＝２４×２×９/８＝５４cm²。よって、GD＝５４／１２×２＝９cmとなります。ここで、GD：FD＝９：１２＝３：４なので、　△FDGは辺の比が３：４：５の直角三角形となります。また、△FDGと△FD''Gは合同で、　△FD''G＝△FDG＝５４cm²。 △GC'D''と△FC'Dは、∠C'は共通、∠GD''C'＝∠FDC'＝９０度より２つの三角形は相似で、相似比はGD''：FD＝９：１２＝３：４。よって、△GC'D''：△FC'D＝９：１６、　△GC'D''：四角形GD''FD＝１６：7、従って、△FC'D＝四角形GD''FD×１６/7＝５４×２×１６/７＝１７２８/７cm²。よって、C'D＝（１７２８/２）／１２×２＝２８８/７cmとなります。ここで、FD：C'D＝１２：２８８/７＝７：２４なので、　△FDGは辺の比が７：２４：２５の直角三角形となります。さて、△CDC'は△FDGと相似な直角三角形なので、辺の比は３：４：５。よって、CC'＝C'D×５/３＝２８８/７×５/３＝４８０/７cm。従って、EF＝CC'＝４８０/７cmと求まります。

第３６１問の解答

問題［ 平面図形］

解答例１

解答例２

（その他の解法）

問題［平面図形］