第362問の解答


問題[平面図形]

問題図

上の図のような∠A=90°の直角二等辺三角形ABCがあります。

いま、∠B二等分線に、点Cから下ろした垂線の足とします。また、BDAC交点とします。すると、CD5cmになりました。

このとき、△BEC面積を求めてください。


解答例1

高田修成さん、Taroさん、DrKさん、kasamaさん、ハラギャーテイさん、Toru Fukatsuさん、中村明海さん、M.Hossieさん、天秤さん、大岡 敏幸さん、 他多数

三角関数を使って考えてみましょう。
θ=
45/2=22.5度x=tanθとおきます。

参考図1

CDの長さをとすると、
 EDCDtanθ=xBDCD/tanθ=1/x
より、
 BD=1/xx=(1−2)/
と表せます。

倍角公式より、
 tan2θ=2tanθ/(1-tan2θ)=tan45°=1
よって、
 1=2x/(1-x2)
従って、
 (1−2)/x=2

よって、BD=2×5=10cmと分かります。

従って、
 △BEC=1/2×BE×CD
     
=1/2×10×
     =25cm2
と求まります。

BEを求める別法)

  • 1/tanθ-tanθ=cosθ/sinθ-sinθ/cosθ
       =(cos2θ-sin2θ)/cosθsinθ
       =2cos2θ/sin2θ
       =2tan2θ
       =2
    BE=(1/tanθ-tanθ)・CD=2・5=10 

  • BE・cosθ=AB、BC・sinθ=CD=5
    BE・BC・cosθsinθ=AB・5
    BE・BC・cos2θ=AB・5・2
    BE・AB=10・AB
    BE=10

: 25cm2

以上


解答例2

CRYING DOLPHINさん、オモシロ※※館館長「影」さん、

BACDを延長し、交点をFとします。

参考図2

△ABE△ACFについて、
 ABAC∠ABE∠ACF=45/2°、∠BAE∠CAF=90°
より、1辺と挟角が等しいので合同
よって、BECF

△FBD△CBDについて、
 BD共通∠FBD∠CBD=45/2°、∠FBD∠CDB=90°
より、1辺と両側の角が等しいので合同
よって、FDCD5cm

従って、CF=5×2=10cm
よって、BE10cm。
以下、同様。


解答例3

菱沼聖子さん、

EからBCに下ろした垂線の足A'とし、C'A'=CA'となるようBA'上にC'をとります。
さらに、C'からBD上に下ろした垂線の足Fとします。

参考図3

△EC'A'△EC'A'について、
 EA'共通C'A'=C'A、∠EA'C'=∠EA'C=90度
より、二辺と挟角が等しいので合同

よって、
 EC'
EC、∠EC'A'=∠ECA'=45°、および∠C'EC90度
となり、△EC'C直角二等辺三角形であることが分かります。

従って、∠BEC'∠BEC∠C'EC=(90+45/2)−90=45/2度
 ∠BC'F∠EC'F=(90−45/2)度。

△C'BF△C'EFについて、
 C'F共通∠C'BF=∠C'EF=45/2度、∠C'FB=∠C'FE=90度
より、一辺と両側の角が等しいので合同

よって、C'BC'Eとなります。

すると、△C'BF△C'EFは、△ECD合同直角三角形と分かります。

従って、
 BF
EF=CD=5cm
 BE
BFEF=10cm
となります。
以下、同様。


解答例4

小西孝一さん、遠い山のぽきょぽんさん、すてっぷさん、

等積変形で求めてみましょう。
BA上E'BE'=BEとなるようにとり、CE'BEの交点をFとします。
また、FからBCに下ろした垂線の足Hとし、FHの延長線上にHG=FHとなるようGをとります。
さらに、FからGCに下ろした垂線の足Iとします。

参考図4

すると、△FBH△FCH△GCH合同直角三角形となります。
よって、△BEC四角形FGCEとなります。

また、△DFC∠D90度∠DCF45度より、直角二等辺三角形
および、△IFC∠I90度∠ICF45度より、直角二等辺三角形
よって、四角形FICD正方形であることが分かります。

すると、△FGI△CED合同となりますので、
四角形FGCE=正方形FICD=52=25cm2

従って、△BEC25cm2と求まります。


解答例5

ふじさきたつみさん、

CからBCに垂直線を引きCC'BCとなるようにC'をとり、
CDの延長線とBC'の交点をE'とします。

参考図5

すると、△C'BC二等辺直角三角形となるので、∠BC'C45度となります。

よって、△E'CC'△EBCは合同となりますので、E'CEBとなります。

また、△BE'D△BCDは合同となるので、E'DCD5cm

よって、EBE'C10cmと求まります。
以下、同様。