第362問の解答
問題[平面図形]
上の図のような∠A=90°の直角二等辺三角形ABCがあります。
いま、∠Bの二等分線に、点Cから下ろした垂線の足をDとします。また、BDとACの交点をEとします。すると、CD=5cmになりました。
このとき、△BECの面積を求めてください。
解答例1
高田修成さん、Taroさん、DrKさん、kasamaさん、ハラギャーテイさん、Toru Fukatsuさん、中村明海さん、M.Hossieさん、天秤さん、大岡 敏幸さん、 他多数
三角関数を使って考えてみましょう。
θ=45/2=22.5度、x=tanθとおきます。
CDの長さを1とすると、
ED=CDtanθ=x、BD=CD/tanθ=1/x
より、
BD=1/x−x=(1−x2)/x
と表せます。倍角公式より、
tan2θ=2tanθ/(1-tan2θ)=tan45°=1
よって、
1=2x/(1-x2)
従って、
(1−x2)/x=2よって、BD=2×5=10cmと分かります。
従って、
△BEC=1/2×BE×CD
=1/2×10×5
=25cm2
と求まります。(BEを求める別法)
1/tanθ-tanθ=cosθ/sinθ-sinθ/cosθ
=(cos2θ-sin2θ)/cosθsinθ
=2cos2θ/sin2θ
=2tan2θ
=2
BE=(1/tanθ-tanθ)・CD=2・5=10BE・cosθ=AB、BC・sinθ=CD=5
BE・BC・cosθsinθ=AB・5
BE・BC・cos2θ=AB・5・2
BE・AB=10・AB
BE=10答: 25cm2
以上
解答例2
CRYING DOLPHINさん、オモシロ※※館館長「影」さん、 他
BAとCDを延長し、交点をFとします。
△ABEと△ACFについて、
AB=AC、∠ABE=∠ACF=45/2°、∠BAE=∠CAF=90°
より、1辺と挟角が等しいので合同、
よって、BE=CF。△FBDと△CBDについて、
BDが共通、∠FBD=∠CBD=45/2°、∠FBD=∠CDB=90°
より、1辺と両側の角が等しいので合同、
よって、FD=CD=5cm。従って、CF=5×2=10cm、
よって、BE=10cm。
以下、同様。
解答例3
菱沼聖子さん、 他
EからBCに下ろした垂線の足をA'とし、C'A'=CA'となるようBA'上にC'をとります。
さらに、C'からBD上に下ろした垂線の足をFとします。
△EC'A'と△EC'A'について、
EA'は共通、C'A'=C'A、∠EA'C'=∠EA'C=90度
より、二辺と挟角が等しいので合同。よって、
EC'=EC、∠EC'A'=∠ECA'=45°、および∠C'EC=90度
となり、△EC'Cが直角二等辺三角形であることが分かります。従って、∠BEC'=∠BEC−∠C'EC=(90+45/2)−90=45/2度、
∠BC'F=∠EC'F=(90−45/2)度。△C'BFと△C'EFについて、
C'Fは共通、∠C'BF=∠C'EF=45/2度、∠C'FB=∠C'FE=90度
より、一辺と両側の角が等しいので合同。よって、C'B=C'Eとなります。
すると、△C'BFと△C'EFは、△ECDと合同な直角三角形と分かります。
従って、
BF=EF=CD=5cm、
BE=BF+EF=10cm
となります。
以下、同様。
解答例4
小西孝一さん、遠い山のぽきょぽんさん、すてっぷさん、 他
等積変形で求めてみましょう。
BA上にE'をBE'=BEとなるようにとり、CE'とBEの交点をFとします。
また、FからBCに下ろした垂線の足をHとし、FHの延長線上にHG=FHとなるようGをとります。
さらに、FからGCに下ろした垂線の足をIとします。
すると、△FBHと△FCHと△GCHは合同な直角三角形となります。
よって、△BEC=四角形FGCEとなります。また、△DFCは∠D=90度、∠DCF=45度より、直角二等辺三角形、
および、△IFCも∠I=90度、∠ICF=45度より、直角二等辺三角形、
よって、四角形FICDは正方形であることが分かります。すると、△FGIと△CEDは合同となりますので、
四角形FGCE=正方形FICD=52=25cm2。従って、△BEC=25cm2と求まります。
解答例5
ふじさきたつみさん、 他
CからBCに垂直線を引きCC'=BCとなるようにC'をとり、
CDの延長線とBC'の交点をE'とします。
すると、△C'BCは二等辺直角三角形となるので、∠BC'C=45度となります。
よって、△E'CC'と△EBCは合同となりますので、E'C=EBとなります。
また、△BE'Dと△BCDは合同となるので、E'D=CD=5cm。
よって、EB=E'C=10cmと求まります。
以下、同様。