第３６２問の解答

問題［平面図形］

上の図のような∠Ａ＝９０°の直角二等辺三角形ＡＢＣがあります。

いま、∠Ｂの二等分線に、点Ｃから下ろした垂線の足をＤとします。また、ＢＤとＡＣの交点をＥとします。すると、ＣＤ＝５cmになりました。

このとき、△ＢＥＣの面積を求めてください。

解答例１

高田修成さん、Taroさん、DrKさん、kasamaさん、ハラギャーテイさん、Toru Fukatsuさん、中村明海さん、M.Hossieさん、天秤さん、大岡　敏幸さん、他多数

三角関数を使って考えてみましょう。
θ＝45/2＝22.5度、x＝tanθとおきます。

CDの長さを１とすると、
　ED＝CDtanθ＝x、BD＝CD/tanθ＝1/x
より、
　BD＝1/x－x＝（１－ｘ²）/ｘ
と表せます。

倍角公式より、
　tan2θ＝2tanθ/(1-tan²θ)＝tan４５°＝１
よって、
　１＝２x/(1-x²)
従って、
　（１－ｘ²）/ｘ＝２

よって、BD＝２×５＝１０cmと分かります。

従って、
　△BEC＝１/２×BE×CD
　　　　　＝１/２×１０×５
　　　　　＝２５cm²
と求まります。

（BEを求める別法）

1/tanθ-tanθ＝cosθ/sinθ-sinθ/cosθ
　　　＝（cos²θ-sin²θ）/cosθsinθ
　　　＝２cos２θ/sin２θ
　　　＝２tan２θ
　　　＝２
BE＝（1/tanθ-tanθ）・CD＝２・５＝１０　

BE・cosθ＝AB、BC・sinθ＝CD＝５
BE・BC・cosθsinθ＝AB・５
BE・BC・cos２θ＝AB・５・２
BE・AB＝１０・AB
BE＝１０

答：　２５cm²

以上

解答例２

CRYING DOLPHINさん、オモシロ※※館館長「影」さん、他


	BAとCDを延長し、交点をFとします。 △ABEと△ACFについて、　AB＝AC、∠ABE＝∠ACF＝４５/２°、∠BAE＝∠CAF＝９０° より、１辺と挟角が等しいので合同、よって、BE＝CF。 △FBDと△CBDについて、　BDが共通、∠FBD＝∠CBD＝４５/２°、∠FBD＝∠CDB＝９０° より、１辺と両側の角が等しいので合同、よって、FD＝CD＝５cm。従って、CF＝５×２＝１０cm、よって、BE＝１０cm。以下、同様。

解答例３

菱沼聖子さん、他


	EからBCに下ろした垂線の足をA'とし、C'A'＝CA'となるようBA'上にC'をとります。さらに、C'からBD上に下ろした垂線の足をFとします。 △EC'A'と△EC'A'について、　EA'は共通、C'A'＝C'A、∠EA'C'＝∠EA'C＝９０度より、二辺と挟角が等しいので合同。よって、　EC'＝EC、∠EC'A'＝∠ECA'＝４５°、および∠C'EC＝９０度となり、△EC'Cが直角二等辺三角形であることが分かります。従って、∠BEC'＝∠BEC－∠C'EC＝（９０＋４５/２）－９０＝４５/２度、　∠BC'F＝∠EC'F＝（９０－４５/２）度。 △C'BFと△C'EFについて、　C'Fは共通、∠C'BF＝∠C'EF＝４５/２度、∠C'FB＝∠C'FE＝９０度より、一辺と両側の角が等しいので合同。よって、C'B＝C'Eとなります。すると、△C'BFと△C'EFは、△ECDと合同な直角三角形と分かります。従って、　BF＝EF＝CD＝５ｃｍ、　BE＝BF＋EF＝１０ｃｍとなります。以下、同様。

解答例４

小西孝一さん、遠い山のぽきょぽんさん、すてっぷさん、他


	等積変形で求めてみましょう。 BA上にE'をBE'＝BEとなるようにとり、CE'とBEの交点をFとします。また、FからBCに下ろした垂線の足をHとし、FHの延長線上にHG＝FHとなるようGをとります。さらに、FからGCに下ろした垂線の足をIとします。すると、△FBHと△FCHと△GCHは合同な直角三角形となります。よって、△BEC＝四角形FGCEとなります。また、△DFCは∠D＝９０度、∠DCF＝４５度より、直角二等辺三角形、および、△IFCも∠I＝９０度、∠ICF＝４５度より、直角二等辺三角形、よって、四角形FICDは正方形であることが分かります。すると、△FGIと△CEDは合同となりますので、四角形FGCE＝正方形FICD＝５²＝２５cm²。従って、△BEC＝２５cm²と求まります。

解答例５

ふじさきたつみさん、他

CからBCに垂直線を引きCC'＝BCとなるようにC'をとり、
CDの延長線とBC'の交点をE'とします。

すると、△C'BCは二等辺直角三角形となるので、∠BC'C＝４５度となります。
よって、△E'CC'と△EBCは合同となりますので、E'C＝EBとなります。
また、△BE'Dと△BCDは合同となるので、E'D＝CD＝５ｃｍ。
よって、EB＝E'C＝１０ｃｍと求まります。
以下、同様。


	三角関数を使って考えてみましょう。 θ＝45/2＝22.5度、x＝tanθとおきます。 CDの長さを１とすると、　ED＝CDtanθ＝x、BD＝CD/tanθ＝1/x より、　BD＝1/x－x＝（１－ｘ²）/ｘと表せます。倍角公式より、　tan2θ＝2tanθ/(1-tan²θ)＝tan４５°＝１よって、　１＝２x/(1-x²) 従って、　（１－ｘ²）/ｘ＝２よって、BD＝２×５＝１０cmと分かります。従って、　△BEC＝１/２×BE×CD 　　　　　＝１/２×１０×５　　　　　＝２５cm² と求まります。（BEを求める別法） 1/tanθ-tanθ＝cosθ/sinθ-sinθ/cosθ 　　　＝（cos²θ-sin²θ）/cosθsinθ 　　　＝２cos２θ/sin２θ 　　　＝２tan２θ 　　　＝２ BE＝（1/tanθ-tanθ）・CD＝２・５＝１０　 BE・cosθ＝AB、BC・sinθ＝CD＝５ BE・BC・cosθsinθ＝AB・５ BE・BC・cos２θ＝AB・５・２ BE・AB＝１０・AB BE＝１０答：　２５cm² 以上


	CからBCに垂直線を引きCC'＝BCとなるようにC'をとり、 CDの延長線とBC'の交点をE'とします。すると、△C'BCは二等辺直角三角形となるので、∠BC'C＝４５度となります。よって、△E'CC'と△EBCは合同となりますので、E'C＝EBとなります。また、△BE'Dと△BCDは合同となるので、E'D＝CD＝５ｃｍ。よって、EB＝E'C＝１０ｃｍと求まります。以下、同様。