第367問の解答


問題[平面図形]

問題図

左図のようなAB16cmAC10cm△ABCがあります。

いま、辺BC中点とし、を通りAB平行な直線辺ACと交わる点をとします。さらにDE上にDP3cmとなる点Pをとり、頂点B頂点Cと結んだところ、∠ACPの大きさは∠ABPの大きさの2倍となりました。

このとき、△BPC面積を求めてください。


解答例1

長野 美光さん、あ〜く@旧Nさん、きょろ文さん、DrKさん、モルモット大臣さん、柿原さん、有無相生さん、ちこりんさん、evolutionさん、M.Hossieさん、 他多数

CPの延長線とAB交点Fとし、Bから直線CFに下ろした垂線の足Hとします。

参考図1

△CBFについて、DCB中点で、DPBF平行だから、
中点連結定理より、DPBP×1/2、
よって、BFDP×2=3×2=6cmとなります。

従って、AFABBF=16−6=10cm
よって、△AFCは、AFAC二等辺三角形となります。

従って、∠AFP∠ACP=∠FBP×2となり、
また、∠AFP△FBP外角より、
 ∠FPB∠AFP∠FBP∠FBP

よって、△FBPは、FBFP6cm二等辺三角形となります。

また、△CAFについて中点連結定理より、PCFP6cm
△AFC二等辺三角形だから、APFC垂直二等分線
よって、△AFP△ACP合同直角三角形となります。

ところが、AFAC10cmFPCP6cmより、
これらは三辺の比3:4:5直角三角形となり、
よって、AP8cmと分かります。 ・・・・ (1)

さて、△BFHは△AFPと相似な直角三角形となるので、
BHBF×AP/AF=6×8/10=4.8cmとなります。

よって、
 △BPC=
1/2×PC×BH=1/2×6×4.8=14.4cm2
と求まります。

: 14.4cm2

以上


解答例2

拓パパさん、DrKさん、高橋 道広さん、小西孝一さん、あほあほまんさん、

参考図2

(1)までは、解答例1と同じ。

△AFC=1/2×FC×AP
    =1/2×12×8
    =48cm2

△CAF△CFB底辺AFFBとみると、高さが共通なので、
△CAF△CFBAFFB=10:6。

よって、
 △CFB△CAF×6/10=48×6/10=28.8cm2

△BFP△BPC底辺FPPCとみると高さが共通なので、
△BFP△BPCFPPC=6:6。

従って、△BFP△BPC△BFC×1/2=28.8×1/2=14.4cm2
と求まります。


(その他の解法)