第368問の解答


問題[場合の数]

問題図

左図のように、の下に6本の糸が隠れています。両端はそれぞれ一方板の上のほう()に、もう一方が 下のほう()に出ています。

いま、およびをそれぞれ2つずつ3組にして結ぶとき、を外すと1つの大きな輪になっているような結び方何通りあるでしょうか。


解答例1

拓パパさん、小西孝一さん、中村明海さん、あ〜く@旧Nさん、tekiさん、M.Hossieさん、すてっぷさん、ちこりんさん、きょろ文さん、ψ(プサイ)さん、航介さん、mhayashiさん、 他多数

無関係なので取り払って考えます。

参考図1

  • まず、Aと結ぶ1本A以外5本の中から選んで(仮にBとします)、
    A
    B上側を結びます。 ・・・ 5通り

  • 次に、残った4本CDEF)の中から1本選び(仮にCとします)、
    B
    C下側を結びます。 ・・・ 4通り

  • さらに、残った3本DEF)の中から1本選び(仮にDとします)、
    C
    D上側を結びます。 ・・・ 3通り

  • そして、残った2本EF)の中から1本選び(仮にEとします)、
    D
    E下側を結びます。 ・・・ 2通り

  • 最後に、残ったFとEの上側、Fと最初のAの下側を結ぶと大きな1本の和ができます。
     ・・・ 1通り

よって、
 結び方の合計=5×4×3×2×1=120通り
となります。

結局、これはAF6本を円周上に順番に並べる円順列の数に相当することが分かります。
n個円順列は一般に、(n-1)!=(n-1)×(n-2)×・・・×2×1通りと表されます。

参考図1−1

: 120通り

以上


解答例2

sugitakukunさん、中村明海さん、オモシロ※※館館長「影」さん、長野美光さん、

まず、上側2本ずつの3組に分けてみます。

参考図2

と同じ組にする1本残り5本から選び(仮にとします)ます。
次に残った4本のうち1本(仮にとします)と同じ組にする1本残り3本から選びます。
(仮にとします)

最後に残った2本)は自動的に同じ組になりますから、
 3組に分けるのは、5×3=15通り
となります。

さて、選んだ2本ずつの上側を結んでおきます。

次に、最初の組のと結ぶ糸をC、D、E、Fの中から1本選びます。
(仮にとします)が同じく組になり、それぞれの下側を結ぶことになります。

さらに、と同じ組のと結ぶ糸(と同じ組にする)を、残ったE、Fの中から1本選びます。
(仮にとします)が同じ組になり、それぞれの下側を結びます。

最後に、残ったが自動的に同じ組になりますので、下側を結べば大きな輪になります。

従って、下側の組み合わせは、4×2=8通りとなるので、
合わせて求める結び方は=15×8=120通りになります。