第３６８問の解答

問題［場合の数］

左図のように、板の下に６本の糸が隠れています。両端はそれぞれ一方が板の上のほう（Ａ～Ｆ）に、もう一方が下のほう（ア～カ）に出ています。

いま、Ａ～Ｆおよびア～カをそれぞれ２つずつ３組にして結ぶとき、板を外すと糸が１つの大きな輪になっているような結び方は何通りあるでしょうか。

解答例１

拓パパさん、小西孝一さん、中村明海さん、あ～く＠旧Ｎさん、tekiさん、M.Hossieさん、すてっぷさん、ちこりんさん、きょろ文さん、ψ（プサイ）さん、航介さん、mhayashiさん、他多数


	板は無関係なので取り払って考えます。まず、Aと結ぶ１本をA以外の５本の中から選んで（仮にBとします）、 AとBの上側を結びます。　・・・　５通り次に、残った４本（C、D、E、F）の中から１本選び（仮にCとします）、 BとCの下側を結びます。　・・・　４通りさらに、残った３本（D、E、F）の中から１本選び（仮にDとします）、 CとDの上側を結びます。　・・・　３通りそして、残った２本（E、F）の中から１本選び（仮にEとします）、 DとEの下側を結びます。　・・・　２通り最後に、残ったFとEの上側、Fと最初のAの下側を結ぶと大きな１本の和ができます。　・・・　１通りよって、結び方の合計＝５×４×３×２×１＝１２０通りとなります。結局、これはA～Fの６本の糸を円周上に順番に並べる円順列の数に相当することが分かります。ｎ個の円順列は一般に、(n-１)!＝(n-１)×(n-２)×・・・×２×１通りと表されます。答：　１２０通り以上

解答例２

sugitakukunさん、中村明海さん、オモシロ※※館館長「影」さん、長野美光さん、他

まず、上側を２本ずつの３組に分けてみます。

Ａと同じ組にする１本を残り５本から選び（仮にＢとします）ます。
次に残った４本のうち１本（仮にＣとします）と同じ組にする１本を残り３本から選びます。
（仮にＤとします）

最後に残った２本（Ｅ、Ｆ）は自動的に同じ組になりますから、
　３組に分けるのは、５×３＝１５通り
となります。

さて、選んだ２本ずつの上側を結んでおきます。

次に、最初の組のＢと結ぶ糸をＣ、Ｄ、Ｅ、Ｆの中から１本選びます。
（仮にＣとします）ＢとＣが同じく組になり、それぞれの下側を結ぶことになります。

さらに、Ｃと同じ組のＤと結ぶ糸（Ｄと同じ組にする）を、残ったＥ、Ｆの中から１本選びます。
（仮にＥとします）ＤとＥが同じ組になり、それぞれの下側を結びます。

最後に、残ったＥとＡが自動的に同じ組になりますので、下側を結べば大きな輪になります。

従って、下側の組み合わせは、４×２＝８通りとなるので、
合わせて求める結び方は＝１５×８＝１２０通りになります。


	まず、上側を２本ずつの３組に分けてみます。Ａと同じ組にする１本を残り５本から選び（仮にＢとします）ます。次に残った４本のうち１本（仮にＣとします）と同じ組にする１本を残り３本から選びます。（仮にＤとします）最後に残った２本（Ｅ、Ｆ）は自動的に同じ組になりますから、　３組に分けるのは、５×３＝１５通りとなります。さて、選んだ２本ずつの上側を結んでおきます。次に、最初の組のＢと結ぶ糸をＣ、Ｄ、Ｅ、Ｆの中から１本選びます。（仮にＣとします）ＢとＣが同じく組になり、それぞれの下側を結ぶことになります。さらに、Ｃと同じ組のＤと結ぶ糸（Ｄと同じ組にする）を、残ったＥ、Ｆの中から１本選びます。（仮にＥとします）ＤとＥが同じ組になり、それぞれの下側を結びます。最後に、残ったＥとＡが自動的に同じ組になりますので、下側を結べば大きな輪になります。従って、下側の組み合わせは、４×２＝８通りとなるので、合わせて求める結び方は＝１５×８＝１２０通りになります。