第３６９問の解答

問題［平面図形］

左図は、合わせ鏡上の点Ｐから光を発射したところを表しています。（上から見た図）

まず、図中のアの角度が７６°になるようにして光を発射したところ、光は３回反射して、Ｐに戻ってきたそうです。

では、光が７回反射してＰに戻ってくるようにするには、アの角度を何度にすれば良いでしょうか。

解答例１

長野　美光さん、Taroさん、evolutionさん、M.Hossieさん、小西孝一さん、大岡　敏幸さん、他

反射の問題は、折り返しで考えるといいでしょう。

図１で、合わせ鏡の角度をθとし、対向する鏡の面でこちら側の面を折り返します。
Ｐから発射した光線がＰ₁で反射し、元の面のＰ₂に戻ってくるものとします。

ＰＰ₁の延長して折り返された面との交点をＰ'₂とし、∠ＰＰ₁Ｐ₂の二等分線引くと、
∠ＯＰ₁Ｐ₂＝∠ＯＰ₁Ｐ'₂＝９０°－∠ＰＰ₁Ｐ₂×１/２。

よって、△Ｐ₁ＯＰ₂と△Ｐ₁ＯＰ'₂は、一辺と両端の角が等しいので合同。
従って、ＯＰ'₂＝ＯＰ₂となり、Ｐ₂を求めるにはＰ'₂は逆に折り返すといいことが分かります。

さて、光線が３回反射して元のＰに戻ったということは、
合わせ鏡を３回折り返した面とＰＰ₁の延長との交点をＰ'₄とすると、
ＯＰ₄＝ＯＰ'₄となることを意味します。　・・・　図２

よって、△ＯＰ₄Ｐ'₄は二等辺三角形となりますので、
頂角Ｐ₄Ｐ'₄Ｏ＝１８０－７６×２＝２８度、
従って、合わせ鏡の角度＝２８÷４＝７度となります。

さて、光線が７回反射して元のＰに戻るためには、合わせ鏡を７回折り返した面で
ＯＰ'₈＝ＯＰ₈となる点Ｐ'₈へ向かって光線を発射すればいいことになります。　・・・　図３

よって、△ＯＰ₈Ｐ'₈は二等辺三角形となりますので、
　∠ＯＰ₈Ｐ'₈＝（１８０－７×８）÷２＝６２度
と求まります。

答：　６２度

以上

解答例２

DrKさん、kasamaさん、有無相生さん、小学名探偵さん、CRYING DOLPHINさん、他

各反射では、入射角＝反射角が成り立っています。

合わせ鏡の角度をθ、最初の点ＰをＰ₀、各反射点をＰ₁、Ｐ₂、・・・、
および各入射角をｋ_０、ｋ₁、ｋ₂とします。

△Ｐ₀Ｐ₁Ｐ₂について、ｋ₁は外角なので、ｋ₁＝ｋ₀＋θ　が成り立ちます。
同様に、ｋ₂＝ｋ₁＋θ、ｋ₃＝ｋ₂＋θ、・・・・となります。　・・・　図４

さて、最初に光線を７６°で発射したとき、３回の反射で元の点に戻ったことから、
２回目の反射では入射角がちょうど直角になり、以降元に戻ったものと考えられます。

従って、ｋ₂＝ｋ₀＋２θ＝７６＋２θ＝９０°
よって、θ＝（９０－７６）÷２＝７°となります。
このとき、各入射角は、７６、８３、９０、８３、７６となっています。

次に、７回の反射で元の点に戻るということは、４回目の反射の入射角が直角。
よって、ｋ₄＝ｋ₀＋４θ＝ｋ₀＋４×７＝９０°、
よって、ｋ₀＝９０－２８＝６２°と求まります。
このとき、各入射角は、６２、６９、７６、８３、９０、８３、７６、６９、６２となっています。

（その他の解法）

作図して各角度を求める　・・・　ポケモンハルカさん、ψ(プサイ)さん、他


	反射の問題は、折り返しで考えるといいでしょう。図１で、合わせ鏡の角度をθとし、対向する鏡の面でこちら側の面を折り返します。Ｐから発射した光線がＰ₁で反射し、元の面のＰ₂に戻ってくるものとします。ＰＰ₁の延長して折り返された面との交点をＰ'₂とし、∠ＰＰ₁Ｐ₂の二等分線引くと、 ∠ＯＰ₁Ｐ₂＝∠ＯＰ₁Ｐ'₂＝９０°－∠ＰＰ₁Ｐ₂×１/２。よって、△Ｐ₁ＯＰ₂と△Ｐ₁ＯＰ'₂は、一辺と両端の角が等しいので合同。従って、ＯＰ'₂＝ＯＰ₂となり、Ｐ₂を求めるにはＰ'₂は逆に折り返すといいことが分かります。さて、光線が３回反射して元のＰに戻ったということは、合わせ鏡を３回折り返した面とＰＰ₁の延長との交点をＰ'₄とすると、ＯＰ₄＝ＯＰ'₄となることを意味します。　・・・　図２よって、△ＯＰ₄Ｐ'₄は二等辺三角形となりますので、頂角Ｐ₄Ｐ'₄Ｏ＝１８０－７６×２＝２８度、従って、合わせ鏡の角度＝２８÷４＝７度となります。さて、光線が７回反射して元のＰに戻るためには、合わせ鏡を７回折り返した面でＯＰ'₈＝ＯＰ₈となる点Ｐ'₈へ向かって光線を発射すればいいことになります。　・・・　図３よって、△ＯＰ₈Ｐ'₈は二等辺三角形となりますので、　∠ＯＰ₈Ｐ'₈＝（１８０－７×８）÷２＝６２度と求まります。答：　６２度以上


	各反射では、入射角＝反射角が成り立っています。合わせ鏡の角度をθ、最初の点ＰをＰ₀、各反射点をＰ₁、Ｐ₂、・・・、および各入射角をｋ_０、ｋ₁、ｋ₂とします。 △Ｐ₀Ｐ₁Ｐ₂について、ｋ₁は外角なので、ｋ₁＝ｋ₀＋θ　が成り立ちます。同様に、ｋ₂＝ｋ₁＋θ、ｋ₃＝ｋ₂＋θ、・・・・となります。　・・・　図４さて、最初に光線を７６°で発射したとき、３回の反射で元の点に戻ったことから、２回目の反射では入射角がちょうど直角になり、以降元に戻ったものと考えられます。従って、ｋ₂＝ｋ₀＋２θ＝７６＋２θ＝９０° よって、θ＝（９０－７６）÷２＝７°となります。このとき、各入射角は、７６、８３、９０、８３、７６となっています。次に、７回の反射で元の点に戻るということは、４回目の反射の入射角が直角。よって、ｋ₄＝ｋ₀＋４θ＝ｋ₀＋４×７＝９０°、よって、ｋ₀＝９０－２８＝６２°と求まります。このとき、各入射角は、６２、６９、７６、８３、９０、８３、７６、６９、６２となっています。