第３７７問の解答

問題［速さの問題］

マサルさんと、弟のツヨシ君は、運動公園にやってきました。

マサルさんは日頃の運動不足を解消すべく、８１ｍ離れたＡ地点とＢ地点の間を毎分６５ｍの速さで往復運動することにしました。ツヨシ君は、マサルさんの後を追いかけて毎分１３ｍの速さで歩きますが、マサルさんとすれ違うとその場でまわれ右をして向きを変えてマサルさんの後を追いかけます。

２人が同時にＡ地点を出発したとすると、ツヨシ君が初めてＡＢ間の真ん中の地点を通るのは、出発後いつの時点でしょうか。

解答例１

Taroさん、あ〜く＠旧Ｎさん、DrKさん、すてっぷさん、みかんさん、あさみかずみさん、大岡　敏幸さん、ポケモンハルカさん、

さん、 他多数

下図のような線分図で考えます。

参考図１

（最初に出会う地点）

出発して二人が出会うまでに、マサルさんはＢまで行って折り返すことになるので、
二人の移動距離合計はＡＢ間の距離の２倍になります。

二人の速度比＝６５：１３＝５：１なので、
ツヨシ君の移動距離を１とすると、マサルさんの移動距離は５。

合計６がＡＢ間の２倍だから、ＡＢ間の距離は３。
従って、出会う地点はＡＢを１：２に内分する点で、
　Ａからの距離＝８１×１/３＝２７m
となります。

（２度目に出会う地点）

同様に、次に出会う地点は、ここからAまでの距離２７の１/３＝９m、
Aからは２７−９＝１８mの地点となります。

（３度目に出会う地点）

次に出会う地点までの距離は、Bまでの距離６３(＝８１−１８)の１/３＝２１m、
Aからは１８＋２１＝３９mの地点となります。

（４度目に出会う地点）

次に出会う地点までの距離は、Aまでの距離３９の１/３＝１３m、
Aからは３９−１３＝２６mの地点となります。

（５度目に出会う地点）

次に出会う地点までの距離は、Bまでの距離５５(＝８１−２６)の１/３＝１８．３３m、
Aからは２６＋１８．３３＝４４．３３mの地点となりますので、
ここで初めてABの中間点を越えることになります。

以上の間に、ツヨシ君が移動した距離合計は、
　２７＋９＋２１＋１３＋（８１÷２−２６）＝８４．５ｍ
従って、所要時間は、
　８４．５m÷１３m/分＝６．５分
と求まります。

答：　６分３０秒後

以上

解答例２

たみてんさん、角さん、辻。さん、小西孝一さん、M.Hossieさん、中村明海さん、有無相生さん、他

ダイヤグラムを参考に漸化式で考えます。

参考図２

ツヨシ君はマサルさんを追いかけながらABの間を行ったり来たりします。
n回目にBに向かって進むときにマサルさんと出会う地点をQnとし、
今度Aに向かって戻るまでに出会う地点をPnとします。

解答例１と同様にして、
　AQn＝APn-1＋(１−APn-1）×１/３＝１/３＋２/３×APn-1　・・・　（１）
　APn＝AQn×２/３＝２/９＋４/９×APn-1　・・・　（２）

（２）より、Pn、Qnの収束点（もしあれば）をP、Qとすれば、
　AP＝２/９＋４/９×AP
より、
　AP＝２/９×９/５＝２/５、AQ＝１/３＋２/３×AP＝３/５
を得ます。

（２）より、
　APn−２/５＝４/９×（APn-1−２/５）
　APn−２/５＝（４/９）n×（AP0−２/５）
よって、
　APn＝２/５−２/５×（４/９）n　・・・　（３）
（１）より、
　AQn＝１/３＋２/３×APn-1
　　　＝１/３＋２/３×｛２/５−２/５×（４/９）n-1｝
　　　＝３/５−３/５×（４/９）n　・・・　（４）

よって、（３）、（４）より、Pn、Qnはnが大きくなるにつれ単調に増加しながら２/５および３/５に収束することが分かります。

（４）より、Qn≧１/２となるのは、n≧３のときとなります。

n回目の行き来でツヨシ君が移動する距離は、
　（AQn−APn-1）＋（AQn−APn）
＝｛１/５＋３/１０×（４/９）n｝＋｛１/５−１/５×（４/９）n｝
＝２/５＋１/１０×（４/９）n

よって、n＝１、２では、
　２/５×２＋１/１０×｛４/９＋（４/９）2｝
＝７０/８１

３回目にABの中間点までツヨシ君が移動する距離は、
　１/２−AP2
＝２９/１６２

従って、ツヨシ君の移動距離合計は、
　７０/８１＋２９/１６２＝１６９/１６２

実際の移動距離合計＝１６９/１６２×８１＝１６９/２m

よって、所要時間＝１６９/２÷１３＝１３/２分
と求まります。

（その他の解法）