第３８３問の解答

問題［平面図形］

左図のような四角形ＡＢＣＤがあります。

ＡＣは∠Ｃの、ＢＤは∠Ｂの二等分線になっていました。また、対角線の交点をＰとすると、∠ＤＰＣ＝４５度となりました。

では、△ＰＢＣの面積が１２cm²であるとき、四角形ＡＢＣＤの面積を求めてください。

解答例１

トトロ＠Ｎさん、CRYING DOLPHINさん、あ～く＠旧Ｎさん、きょろ文さん、もありす５５さん、Taroさん、中村明海さん、すてっぷさん、小西孝一さん、hiroさん、ねこやんさん、omegaさん、ちこりんさん、ポケモンハルカさん、他多数

BPを軸にして△ＡＢＰを折り返したものを△Ａ'ＢＰ、およびＰＣを軸にして△ＤＣＰを折り返したものを△Ｄ'ＣＰとします。

まず、△ＡＢＰ＝△Ａ'ＢＰおよび△ＤＣＰ＝△Ｄ'ＣＰが成り立ちます。

また、∠Ａ'ＰＢ＝∠ＡＰＢ＝４５°、∠Ｄ'ＰＣ＝∠ＤＰＣ＝４５°より、
∠Ａ'Ｐ'Ｄ＝１８０－４５×３＝４５°

さらに、∠ＡＰＤ＝１８０－４５＝１３５°で、ＤＰ＝Ｄ'Ｐより、
△ＤＡＰと△Ｄ'ＰＡ'を図２のように合わせればＡ、Ｐ、Ａ'は一直線上に並び、ＤとＤ'は一致します。

しかも、ＡＰ＝Ａ'Ｐより、△ＤＡＰと△ＤＰ'Ａ'は底辺の長さが等しく、高さが共通なので面積は等しい。

よって、
　△ＡＢＰ＋△ＤＡＰ＋△ＤＰＣ
＝△Ａ'ＢＰ＋△ＤＰ'Ａ'＋△Ｄ'ＰＣ
＝△ＰＢＣ

従って、
　四角形ＡＢＣＤ
＝（△ＡＢＰ＋△ＤＡＰ＋△ＤＰＣ）＋△ＰＢＣ
＝△ＰＢＣ×２
＝２４ｃｍ²
と求まります。

答：　２４cm²

以上

解答例２

すてっぷさん、RDさん、他

ＢＣ上にＡ'をＢＡ'＝ＢＡとなるようにとり、Ａ'ＰおよびＣＤの延長が交わる点をＦとします。

∠ＡＰＢ＝∠Ａ'ＰＢ＝４５°より、
∠Ａ'ＰＣ＝１８０－４５×２＝９０°となります。

よって、△ＣＡ'Ｐと△ＣＦＰに関して、
ＣＰが共通で、∠Ａ'ＣＰ＝∠ＦＣＰおよび∠ＣＰＡ'＝∠ＣＰＦ＝９０°だから合同。

よって、ＦＰ＝Ａ'Ｐ＝ＡＰ、かつ∠ＡＰＦ＝１８０－４５×２＝９０°より、
△ＰＦＡは直角二等辺三角形となります。

従って、∠ＡＦＰ＝４５°となり、∠ＡＦＰ＝∠ＢＰＡ'＝４５°より、ＡＦとＢＤは平行となります。
よって、△ＡＰＤと△ＦＰＤは、底辺ＰＤが共通で高さが等しいので面積が等しい。

従って、
　△ＡＢＰ＋△ＤＡＰ＋△ＤＰＣ
＝△Ａ'ＢＰ＋△ＦＰＤ＋△ＤＰＣ
＝△Ａ'ＢＰ＋△ＡＰＣ
＝△Ａ'ＢＰ＋△Ａ'ＰＣ
＝△ＰＢＣ

以下、解答例１と同様。

（その他の解法）

三角関数を駆使して解く　・・・　M.Hossieさん、有無相生さん、他
　


	BPを軸にして△ＡＢＰを折り返したものを△Ａ'ＢＰ、およびＰＣを軸にして△ＤＣＰを折り返したものを△Ｄ'ＣＰとします。まず、△ＡＢＰ＝△Ａ'ＢＰおよび△ＤＣＰ＝△Ｄ'ＣＰが成り立ちます。また、∠Ａ'ＰＢ＝∠ＡＰＢ＝４５°、∠Ｄ'ＰＣ＝∠ＤＰＣ＝４５°より、 ∠Ａ'Ｐ'Ｄ＝１８０－４５×３＝４５° さらに、∠ＡＰＤ＝１８０－４５＝１３５°で、ＤＰ＝Ｄ'Ｐより、 △ＤＡＰと△Ｄ'ＰＡ'を図２のように合わせればＡ、Ｐ、Ａ'は一直線上に並び、ＤとＤ'は一致します。しかも、ＡＰ＝Ａ'Ｐより、△ＤＡＰと△ＤＰ'Ａ'は底辺の長さが等しく、高さが共通なので面積は等しい。よって、　△ＡＢＰ＋△ＤＡＰ＋△ＤＰＣ＝△Ａ'ＢＰ＋△ＤＰ'Ａ'＋△Ｄ'ＰＣ＝△ＰＢＣ従って、　四角形ＡＢＣＤ＝（△ＡＢＰ＋△ＤＡＰ＋△ＤＰＣ）＋△ＰＢＣ＝△ＰＢＣ×２＝２４ｃｍ² と求まります。答：　２４cm² 以上


	ＢＣ上にＡ'をＢＡ'＝ＢＡとなるようにとり、Ａ'ＰおよびＣＤの延長が交わる点をＦとします。 ∠ＡＰＢ＝∠Ａ'ＰＢ＝４５°より、 ∠Ａ'ＰＣ＝１８０－４５×２＝９０°となります。よって、△ＣＡ'Ｐと△ＣＦＰに関して、ＣＰが共通で、∠Ａ'ＣＰ＝∠ＦＣＰおよび∠ＣＰＡ'＝∠ＣＰＦ＝９０°だから合同。よって、ＦＰ＝Ａ'Ｐ＝ＡＰ、かつ∠ＡＰＦ＝１８０－４５×２＝９０°より、 △ＰＦＡは直角二等辺三角形となります。従って、∠ＡＦＰ＝４５°となり、∠ＡＦＰ＝∠ＢＰＡ'＝４５°より、ＡＦとＢＤは平行となります。よって、△ＡＰＤと△ＦＰＤは、底辺ＰＤが共通で高さが等しいので面積が等しい。従って、　△ＡＢＰ＋△ＤＡＰ＋△ＤＰＣ＝△Ａ'ＢＰ＋△ＦＰＤ＋△ＤＰＣ＝△Ａ'ＢＰ＋△ＡＰＣ＝△Ａ'ＢＰ＋△Ａ'ＰＣ＝△ＰＢＣ以下、解答例１と同様。