第３８５問の解答
問題［平面図形］
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左図のような、正方形ＡＢＣＤがあります。 いま、ＣＢの延長上に点Ｐを、辺ＣＤ上に点Ｑを、ＢＰ＝ＤＱとなるようにとったところ、ＰＱ＝１０cmとなりました。また、ＰＱとＡＢの交点をＲとすると、△ＰＢＲの面積は１cm2となったそうです。 このとき、四角形ＡＲＱＤの面積を求めてください。 |
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解答例１
マサルさん、CRYING DOLPHINさん、ちずさん、はんたろうさん、M.Hossieさん、neoさん、とまぴょんさん、浮浪さん、大岡 敏幸さん、 他多数
APとAQを結んで△APQに着目してみましょう。
△APBと△AQDについて、
PB＝QD、AB＝AD、∠ABP＝∠ADQ＝９０°より、二辺挟角が等しいので合同。よって、AP＝AD、∠PAB＝∠QAD。
従って、∠QAP＝∠PAR＋∠PAB＝∠PAR＋∠QAD＝∠BAD＝９０°。
よって、△APQは直角二等辺三角形となります。△APQの斜辺の長さは、PQ＝１０cmなので、
△APQ＝５×５＝２５cm2。よって、
四角形ＡＲＱＤ
＝△ARQ＋△AQD
＝△ARQ＋△APB
＝△ARQ＋△APR＋△PBR
＝△APQ＋△PBR
＝２５＋１＝２６cm2
と求まります。答： ２６cm2
以上
解答例２
はなうさん、あ〜く＠旧Ｎさん、遠い山のぽきょぽんさん、takaisaさん、ねこやんさん、ちこりんさん、nさん、きょろ文さん、くりこめっちさん、他
問題の図形を９０度ずつ回転しながら４個くっつけてみます。
PB＝QDより、P1とQ、P2とQ1、P3とQ2、およびP4とPはそれぞれ一致します。
よって、R1、R2、R3は、それぞれQQ1とDA、Q1Q2とD1A、およびQ2PとD2Aの交点と一致します。
従って、四角形PQQ1Q2＝四角形ARQR1×４となります。
さて、QQ1、Q1Q2、およびQ2Pは、PQが９０度ずつ回転したものだから、辺の長さはそれぞれ等しく、
また、∠PQQ1＝∠QQ1Q2＝∠Q1Q2P＝∠Q2PQ＝９０度となることから、
四角形PQQ1Q2は正方形と分かります。よって、正方形PQQ1Q2＝１０2＝１００cm2。
従って、
四角形ＡＲＱＤ
＝四角形ARQR1＋△QDR1
＝正方形PQQ1Q2×１/４＋△PBR＝
＝１００×１/４＋１＝２６cm2
と求まります。
解答例３
信三さん、M.Hossieさん、あささん、他
x＝PB、y＝BCとします。
題意より、DQ＝x、QC＝DC−DQ＝y-xとなります。
また、△QPCは直角三角形だからピタゴラスの定理より、
PQ2＝PC2＋QC2よって、
１０2＝（x＋y）2＋（y−x）2従って、x2＋y2＝５０となります。
よって、
四角形ＡＲＱＤ
＝正方形ABCD−四角形RBCQ
＝正方形ABCD−（△QPC−△PBR）
＝y2−１/２×（x＋y）（y−x）＋１
＝１/２×（x2＋y2）＋１
＝１/２×５０＋１＝２６cm2
と求まります。
（その他の解法）
- プログラム等で方程式を解いて求める ・・・ Taroさん、なかさん、ハラギャーテイさん、 他
x2＋y2＝50、１/２×(y2-x2)・｛x/(x+y)｝2＝１より、（ｙ，ｘ）＝(5.47,4.48),(6.82,1.88)を得ます。