第３８８問の解答
問題［平面図形］
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左図で、△ＡＯＢはＡＯ＝ＢＯ＝４cmの二等辺三角形、△ＸＯＹは△ＡＯＢと相似な二等辺三角形で、ＸＯ＝ＹＯ＝３cmとなっています。 いま、直線ＡＸと直線ＹＢの交点をＰとします。 このとき、ＰＸの長さとＰＢの長さの差（ＰＸ−ＰＢ）は何cmでしょうか。 |
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解答例１
hiroさん、takaisaさん、とまぴょんさん、なかさん、きょろ文さん、 他
点ＯからＰＡ、およびＰＹに下ろした垂線の足をＨ、およびＧとします。
∠ＢＯＹ＝∠ＸＯＹ−∠ＸＯＢ＝∠ＡＯＢ−∠ＸＯＢ＝∠ＸＯＡ＝９０度。
従って、△ＸＯＡと△ＹＯＢは合同な辺の長さが３：４：５の直角三角形となります。
よって、ＯＨ＝ＯＧ。すると、△ＰＯＨと△ＰＯＧは、斜辺と残る１辺が等しい直角三角形なので合同。
よって、∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＹとなります。従って、直線ＰＯを軸にして、△ＰＯＹを折り返したものを△ＰＯＹ’とすると、
Ｙ’は直線ＰＡ上に位置します。すると、ＯＹ’＝ＯＹより、△ＯＸＨと△ＯＹ’Ｈは、合同で△ＸＯＡと相似。
従って、ＸＨ＝Ｙ’Ｈ＝３×３/５＝１．８ｃｍ。ＸＡ＝５ｃｍだから、Ｙ’Ａ＝ＸＡ−（ＸＨ＋Ｙ’Ｈ）＝１．４ｃｍ。
ＰＸ＝ＰＹ’−ＸＹ’、ＰＢ＝ＰＹ−ＢＹより、
ＰＸ−ＰＢ＝（ＰＹ’−ＸＹ’）−（ＰＹ−ＢＹ）
＝（ＰＹ’−ＰＹ）−（ＸＹ’−ＢＹ）
＝ＢＹ−ＸＹ’
＝ＸＡ−ＸＹ’
＝Ｙ’Ａ
＝１．４ｃｍ
と求まります。答： １ ．４cm
以上
解答例２
CRYING DOLPHINさん、他
∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＹまでは、解答例１と同じ。
ＰＯを軸にして、ＰＢを折り返したものをＰＢ’とします。
すると、ＰＢ＝ＰＢ’より、ＰＸ−ＰＢ＝Ｂ’Ｘとなります。従って、ＯＢ’＝ＯＢ＝ＯＡより、△ＯＡＢ’は二等辺三角形。
よって、ＡＨ＝Ｂ’Ｈ＝４×４/５＝３．２ｃｍ。従って、Ｂ’Ｘ＝Ｂ’Ａ−ＸＡ＝６．４−５＝１．４ｃｍ。
よって、ＰＸ−ＰＢ＝１．４ｃｍとなります。
（参考）
いちたすにはさん、 他
本問では、線分ＡＢがＡＸより下にあるときを想定しています。
その他の場合も含めて、ＰＸ−ＰＢの値がどうなるか調べてみましょう。
（１）線分ＡＢがＡＸより下にあるとき（本問の場合）
ＰＸ−ＰＢ＝１．４cm
（２）線分ＡＢがＡＸと重なるとき
ちょうど、Ｐ＝Ｂになります。
ＰＸ＝ＢＸ＝ＡＢ−ＡＸ＝１．４ｃｍ
ＰＢ＝０よって、
ＰＸ−ＰＢ＝１．４ｃｍ（３）線分ＡＢがＡＸより上にあり、ＰがＡＸの延長上に あるとき
本問同様∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＹとなります。
ＰＯを軸にＸを折り返したものをＸ’とすると、Ｘ’はＰＹ上にあります。よって、
ＰＸ＋ＰＢ＝ＰＸ’＋ＰＢ
＝ＢＸ’＝ＢＹ−Ｘ’Ｙ
＝５−３．６＝１．４ｃｍＰＸ−ＰＢ＝（１．４−ＰＢ）−ＰＢ＝１．４−２×ＰＢ＜１．４
ＰＸ−ＰＢ＝ＰＸ−（１．４−ＰＸ）＝２×ＰＸ−１．４＜−１．４よって、
−１．４ｃｍ＜ＰＸ−ＰＢ＜１．４ｃｍ（４）線分ＡＢがＡＸより上にあり、ＰがＸと一致するとき
ＰＸ＝０ｃｍ
ＰＢ＝ＢＹ−ＸＹ＝５−３．６＝１．４ｃｍよって、
ＰＸ−ＰＢ＝−１．４ｃｍ（５）線分ＡＢがＡＸより上にあり、ＰがＡＸの間にあるとき
ＰＯを軸にＸを折り返したものをＸ’とすると、
ＰＸ−ＰＢ＝ＰＸ’−ＰＢ
＝−ＢＸ’＝ＢＹ−Ｘ’Ｙ
＝５−３．６＝１．４ｃｍ
（その他の解法）
- Ｐ＝Ｂなど特殊な形の時に限定して解く ・・・ みかんさん、あ〜く＠旧Ｎさん、貞松 篤さん、もありす５５さん、はなうさん、kasamaさん、トトロ＠Ｎさん、とまぴょんさん、M.Hossieさん、ちこりんさん、HIRCさん、他 多数