第３９１問の解答

問題［平面図形］

左図のような直角三角形ＡＢＣがあります。

いま、ＡＣの中点Ｍに頂点Ｂが重なるように折ったところ、折り目が図の線分ＰＱとなりました。

また、

△ＰＱＭの面積＝７cm^２
△ＣＭＱ＋△ＡＭＰ＝１３cm^２

のとき、ＡＰの長さとＣＱの長さの積（ＸとＹの積）を求めてください。

解答例１

takaisaさん、なかさん、トトロ＠Ｎさん、kasamaさん、きょろ文さん、hiroさん、龍洋里さん、他

Mを中心に△MAPを１８０度回転したものを△MCP’とします。

△MCP’と△MAPは合同だから、
　MP’＝MP、CP’＝AP＝Xcm、∠MCP’＝∠MAP

すると、P’CとABは平行となり、∠PC’B＝∠CBA＝９０度。

また、△P’MQと△PMQについて、P’M＝PM、MQは共通、∠P’MQ＝∠PMQ＝９０度より、
二辺挟角が等しいので合同、
よって、△P’MQ＝△PMQ＝７cm²。

従って、
　　△P’QC＝１/２・X・Y
　＝（△MCP’＋△CMQ）－△P’MQ
　＝（△MCP＋△CMQ）－△PMQ
　＝１３－７
　＝６cm²

よって、
　X・Y＝６×２＝１２
と求まります。

答：　１２

以上

解答例２

拓パパさん、Яunnerさん、牝牛さん、他

解答例１とほぼ同じですが、△ABCを１８０度回転したものを△CB’Aとし、
点P、Qに対応する点をP’、Q’とします。

すると、四角形B’ABCは長方形になります。

長方形B’ABC＝△ABC×２＝（１３＋７×２）×２＝５４ｃｍ²。

　X・Y
＝長方形B’ABC－△MPQ×６
＝５４－７×６
＝１２
と求まります。

解答例３

ゴンともさん、takachanさん、やくわさん、M.Hossieさん、とまぴょんさん、大岡　敏幸さん、やくわさん、他

解答例１の図で、MからABおよびBCに下ろした垂線の足をHおよびGとします。
また、PB＝Acm、QB＝Bcmとおきます。

△ABC＝１/２・（X＋A）・（Y＋B）＝１３＋７×２より、
　X・Y＋B・X＋A・Y＋A・B＝５４　・・・　（１）

△MAP＋△CMQ＝１/２・X・（Y＋B）・１/２＋１/２・X・（Y＋B）・１/２＝１３ｃｍ²より、
　２・X・Y＋B・X＋A・Y＝５２　・・・　（２）

△QPB＝１/２・A・B＝７より、
　A・B＝１４　・・・　（３）

（１）－（３）より、
　X・Y＋B・X＋A・Y＝４０　・・・　（４）

（２）－（４）より、
　X・Y＝１２　・・・　（５）
と求まります。

（参考）具体的なX、Y、X、Bの値を求める方法。

（４）、（５）より、
　B・X＋A・Y＝３０　・・・　（６）
（３）、（５）より、
　（B・X）・（Ａ・Ｙ）＝１６８　・・・（７）

（６）、（７）より、B・XとＡ・Ｙは、
　x²－３０ｘ＋１６８＝０
の２根となります。

よって、これらをα、βとおくと、
　Ａ＝α/Ｙ、Ｂ＝β/Ｘ　・・・　（８）

また、P’Q²＝PQ²より、
　X²＋Y²＝A²＋B²　

（３）、（５）および（８）より、
　X²＋（１２/Ｘ）²＝（αＸ）²＋（β/Ｘ）²　

これは、Ｘ²に関する２次方程式となりますので、Ｘが得られます。
以下省略。

（その他の解法）

三角関数で解く　・・・　とまぴょんさん、他
　


	Mを中心に△MAPを１８０度回転したものを△MCP’とします。 △MCP’と△MAPは合同だから、　MP’＝MP、CP’＝AP＝Xcm、∠MCP’＝∠MAP すると、P’CとABは平行となり、∠PC’B＝∠CBA＝９０度。また、△P’MQと△PMQについて、P’M＝PM、MQは共通、∠P’MQ＝∠PMQ＝９０度より、二辺挟角が等しいので合同、よって、△P’MQ＝△PMQ＝７cm²。従って、　　△P’QC＝１/２・X・Y 　＝（△MCP’＋△CMQ）－△P’MQ 　＝（△MCP＋△CMQ）－△PMQ 　＝１３－７　＝６cm² よって、　X・Y＝６×２＝１２と求まります。答：　１２以上


	解答例１とほぼ同じですが、△ABCを１８０度回転したものを△CB’Aとし、点P、Qに対応する点をP’、Q’とします。すると、四角形B’ABCは長方形になります。長方形B’ABC＝△ABC×２＝（１３＋７×２）×２＝５４ｃｍ²。　X・Y ＝長方形B’ABC－△MPQ×６＝５４－７×６＝１２と求まります。


	解答例１の図で、MからABおよびBCに下ろした垂線の足をHおよびGとします。また、PB＝Acm、QB＝Bcmとおきます。 △ABC＝１/２・（X＋A）・（Y＋B）＝１３＋７×２より、　X・Y＋B・X＋A・Y＋A・B＝５４　・・・　（１） △MAP＋△CMQ＝１/２・X・（Y＋B）・１/２＋１/２・X・（Y＋B）・１/２＝１３ｃｍ²より、　２・X・Y＋B・X＋A・Y＝５２　・・・　（２） △QPB＝１/２・A・B＝７より、　A・B＝１４　・・・　（３）（１）－（３）より、　X・Y＋B・X＋A・Y＝４０　・・・　（４）（２）－（４）より、　X・Y＝１２　・・・　（５）と求まります。（参考）具体的なX、Y、X、Bの値を求める方法。（４）、（５）より、　B・X＋A・Y＝３０　・・・　（６）（３）、（５）より、　（B・X）・（Ａ・Ｙ）＝１６８　・・・（７）（６）、（７）より、B・XとＡ・Ｙは、　x²－３０ｘ＋１６８＝０の２根となります。よって、これらをα、βとおくと、　Ａ＝α/Ｙ、Ｂ＝β/Ｘ　・・・　（８）また、P’Q²＝PQ²より、　X²＋Y²＝A²＋B²　（３）、（５）および（８）より、　X²＋（１２/Ｘ）²＝（αＸ）²＋（β/Ｘ）²　これは、Ｘ²に関する２次方程式となりますので、Ｘが得られます。以下省略。