第３９８問の解答

問題［整数の性質（場合の数）］

ヒマ人のマサルさんが、９を２００４回掛け算したところ、１９１３ケタの数になったそうです。

では、９を１回〜２００４回掛け算してできる数のうち、先頭の数字が９である数はいくつあるでしょうか。

解答例１

はなうさん、DrKさん、おかひで博士さん、hiroさん、拓パパさん、始 受験勉強君さん、小学名探偵さん、小西孝一さん、RDさん、ゴンともさん、他

参考図１

９を掛けた結果の先頭数字が９であるためには、掛けた結果が桁上がりしないことが必要十分です。

１、１×９、１×９×９、・・・、１×９×・・・×９と９を２００４回掛けていくごとに桁上がりすると仮定すると、
桁数は１＋２００４＝２００５桁になります。

ところが実際には１９１３桁なので、これらの計算中に２００５−１９１３＝９２回桁上がりしないものがあることになります。

従って、先頭数字が９の数は９２個あることになります。

なお、下表は９を何回掛けたときに先頭数字が９となるかを求めたものです。

　 0 10 20 30 40 50 60 70 80
1 1 219 438 656 875 1093 1312 1530 1749
2 22 241 459 678 897 1115 1334 1552 1771
3 44 263 481 700 918 1137 1355 1574 　
4 66 285 503 722 940 1159 1377 1596 　
5 88 306 525 744 962 1181 1399 1618 　
6 110 328 547 765 984 1202 1421 1640 　
7 132 350 569 787 1006 1224 1443 1661 　
8 153 372 591 809 1028 1246 1465 1683 　
9 175 394 612 831 1050 1268 1487 1705 　
10 197 416 634 853 1071 1290 1508 1727 　

答：　９２個

以上

（その他の解法）