第398問の解答


問題[整数の性質(場合の数)]

ヒマ人のマサルさんが、2004回掛け算したところ、1913ケタになったそうです。

では、1回2004回掛け算してできるのうち、先頭の数字であるいくつあるでしょうか。


解答例1

はなうさん、DrKさん、おかひで博士さん、hiroさん、拓パパさん、始 受験勉強君さん、小学名探偵さん、小西孝一さん、RDさん、ゴンともさん、他

参考図1

掛けた結果先頭数字であるためには、掛けた結果桁上がりしないことが必要十分です。

1、1×、1××、・・・、1××・・・×2004回掛けていくごとに桁上がりすると仮定すると、
桁数は1+2004=2005桁になります。

ところが実際には1913桁なので、これらの計算中に2005191392回桁上がりしないものがあることになります。

従って、先頭数字92個あることになります。

なお、下表はを何回掛けたときに先頭数字となるかを求めたものです。

  0 10 20 30 40 50 60 70 80
1 1 219 438 656 875 1093 1312 1530 1749
2 22 241 459 678 897 1115 1334 1552 1771
3 44 263 481 700 918 1137 1355 1574  
4 66 285 503 722 940 1159 1377 1596  
5 88 306 525 744 962 1181 1399 1618  
6 110 328 547 765 984 1202 1421 1640  
7 132 350 569 787 1006 1224 1443 1661  
8 153 372 591 809 1028 1246 1465 1683  
9 175 394 612 831 1050 1268 1487 1705  
10 197 416 634 853 1071 1290 1508 1727  

答: 92個

以上


(その他の解法)