第３９９問の解答

問題［空間図形］

問題図

画用紙の上に立方体とボールを置いて、ある位置に豆電球を点けたところ、立方体とボールによる影が図のようになりました。（２つの影はともに赤い直線について線対称です）

このとき、ボールの半径は何cmでしょうか。

解答例１

うのたかはるさん、CRYING DOLPHINさん、数楽者さん、はなうさん、なかさん、おかひで博士さん、トトロ＠Ｎさん、あ〜く＠ぴかぴかの（略さん、M.Hossieさん、小西孝一さん、始 受験勉強君さん、きょろ文さん、ほげさん、ちこりんさん、他

まず、豆電球がどの位置（Ｐとします）にあるかを考えます。

参考図１

影が赤い直線に関して対称なことから、豆電球は赤い直線の真上にあることが分かります。
また、立方体の影が右から左に向かって拡がっていることから、これより右のほうにあることになります。

立方体の上面の頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとし、これらの影となる点をＡ’、Ｂ’、Ｃ’、Ｄ’とします。

Ｐ、Ｃ、Ｃ’およびＰ、Ｄ、Ｄ’は、それぞれ一直線上に並ぶことから、
　△ＰＣＤと△ＰＣ’Ｄ’は相似で、相似比は６：１２＝１：２、
よって、
　ＰＣ：ＰＣ’＝１：２
となります。

線分ＣＤとＣ’Ｄ’の距離は、３０−１２＝１８cmなので、ＰとCDとの距離も同じく１８cmと分かります。
（図３参照）

今度は、Pの高さを求めてみましょう。
PおよびCから赤い直線に下ろした垂線の足をHおよびH'とします。

△CC'H'と△PC'Hは相似で、相似比はC'C：C'P＝１：２、
よって、
　PH＝CH'×２＝１２ｃｍ
と分かります。

さて、今度はボールの影を考えてみましょう。
ボールの影と赤い直線の交点を、左からＥおよびＦとします。

直線ＰＥおよびＰＦは、ボールの表面と接することになるので、
ボールを真ん中から垂直方向に切断したときの切断面、これはボールの半径ｒと同じ半径を持つ円になりますが、
この円は△ＰＥＦに内接することになります。

さて、
　△ＰＥＦ＝１/２×ＰＥ×ＰＨ＝１/２×７×１２＝８４ｃｍ2であり、
　△ＰＥＦ＝１/２×ＰＥ×ｒ＋１/２×ＥＦ×ｒ＋１/２×ＰＦ×ｒ＝１/２×（ＰＥ＋ＥＦ＋ＰＦ）×ｒ
となります。

ところで、△ＰＨＥおよび△ＰＨＦとも辺の長さが３：４：５の直角三角形となることから、
　ＰＥ＝ＥＨ×５/３＝１５cm、PF＝PH×５/３＝２０cmと分かります。

よって、
　ｒ＝△PEF×２/（ＰＥ＋ＥＦ＋ＰＦ）
　　＝８４×２/（１５＋７＋２０）
　　＝２cm
と求まります。

答：　２cm

以上

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（その他の解法）