第４００問の解答

問題［平面図形］

左図のような四角形ＡＢＣＤがあります。

この四角形の内部に点Ｐをとったところ、△ＡＰＢ、△ＤＰＣはともに∠Ｐ＝９０度の直角二等辺三角形になり、ＤＰ＝ＰＣ＝６cmとなりました。また、∠ＡＤＰ＝９０度となったそうです。

いま、ＤＰの延長線と辺ＢＣの交わった点をＱ、辺ＡＢの中点をＲとすると、ＱＲ＝５cmとなりました。

このとき、直角二等辺三角形ＡＰＢの面積を求めてください。

解答例１

DCTさん、他

Cを通ってQDに引いた直線とADの延長線の交点をEとし、CEとBPの延長線の交点をA'とします。

四角形DPCEは正方形になるので、DE＝EC＝６cm。

△APDと△A'PCに関して、
　PD＝PC、∠APD＝∠A'PC＝９０度－∠DPA'、∠ADP＝∠A'CP＝９０度より、
１辺とその両端の角が等しいことから、△APD≡△A'PC。

よって、AP＝A'Pとなり、△APB≡△APA'となります。

また、△A'BCに関して、BP＝PA'、およびPQとA'Cが平行となることから、
中点連結定理より、BQ＝QCとなります。

すると、△ABCに関して、BR＝RA、BQ＝QCとなることから、
中点連結定理より、AC＝RQ×２＝１０cmと分かります。

従って、△ACEはAC＝１０cm、CE＝６cmとなり、３辺の比が３：４：５の直角三角形となります。
よって、AE＝８cmと分かりますので、AD＝A'C＝２cm、A'E＝４cmとなります。

従って、△APA'＝△APD＋正方形DPCE－△AA'E－△A'PC

ここで、△APD＝△A'PCより、
　△APA'＝正方形DPCE－△AA'E＝６×６－１/２×８×４＝２０cm²

よって、
　△ABP＝△APA'＝２０cm²
と求まります。

答：　２０cm²

以上

解答例２

あ～く＠ぴかぴかの（略さん、BossFさん、小学名探偵さん、ponta55555 さん、omegaさん、arijuneさん、他

Bを通りADに平行な直線とDPの延長線の交点をHとします。

△APDと△PBHに関して、
　AP＝PB、∠DAP＝９０度－∠APD＝∠HPB、∠APD＝９０度－∠DAP＝９０度－∠HPB＝∠PBHより、
１辺とその両端の角が等しいことから△APD≡△PBH、
従って、BH＝PD＝６cmとなります。

四角形PBHCに関して、
　∠BHP＝∠CPH＝９０度よりBHとPCが平行、かつBH＝PC＝６cmより、
△APDと△PBHは平行四辺形となります。

よって、対角線BCとPHは互いに相手を２等分するので、BQ＝QCとなり、
解答例１と同様、中点連結定理により、AC＝RQ×２＝１０cmと分かります。

さて、△DBPと△CAPに関して、
　BP＝AP、DP＝CP、∠BPD＝９０度＋∠APD＝∠APCより、
２辺とその間の角が等しいことから△DBP≡△CAP、
よって、DB＝CA＝１０cmとなります。

すると、△ABHはAB＝１０cm、BH＝６cmとなることから、３辺の比が３：４：５の直角三角形となります。
よって、AH＝８cm、AD＝PH＝８-６＝２cmと分かります。

従って、
　△ABP＝台形ABHD－△APD－△PBH＝１/２×（２＋６）×８－１/２×２×６×２＝２０cm²
と求まります。

解答例３

CRYING DOLPHINさん、きょろ文さん、はなうさん、他

四角形FGHDおよびEBPAが正方形となるように、点Fと点Gおよび点Eをとります。

すると、点EはFG上にあり、点Rは２つの正方形の中心になります。

また、△AEF、△EBG、△BPHは△APDと合同な直角三角形となり、
AF＝EG＝BH＝AP＝６cmとなります。

従って、解答例２と同様にして、
　四角形PBHCが平行四辺形となり、BQ＝QC、PQ＝QH
と分かります。

さて、FEの中点をTとすると、FT＝FE×１/２＝PQとなり、
　四角形FTQPは平行四辺形となります、
よって、FP＝TR＝RQ×２＝１０cm。

すると、△FPDは３辺の比が３：４：５の直角三角形となり、FD＝８cmと分かります。
よって、AD＝PH＝２ｃｍ。

以下、解答例２と同様。

解答例４

なかさん、経友会の進作さん、他

Ｐを原点とし、PCがｘ軸、PDがｙ軸となるような座標軸で考え、HをBからｙ軸に下ろした垂線の足とします。

ＡＤ＝d、PH＝h、BH＝bとします。

題意より、
　AP²＝d²＋６²＝BP²＝b²＋h²。　・・・　（１）

APとBPが直交することから、
　－６/d×h/b＝－１、
よって、h＝b×d/６。　・・・　（２）

（１）に代入して、
　d²＋６²＝b²＋（b×d/６）²＝（b/６）²×（d²＋６²）
よって、b＝６cm、d＝hとなります。

そこで、a＝１/２×hとおくと、各点の座標は上図のようになります。

従って、
　RQ²＝（３＋ａ）²＋３²＝５²よって、３＋ａ＝４となり、ａ＝１と分かります。

従って、
　△APB＝１/２×AP²＝１/２×（２²＋６²）＝２０cm²
と求まります。

（その他の解法）

方程式を解いて求める（方法はいろいろ）　・・・　Toru Fukatsuさん、始受験勉強君さん、takaisaさん、ゴンともさん、他
　

中線定理を用いる？　・・・　藤井隆行さん、他
　


	Cを通ってQDに引いた直線とADの延長線の交点をEとし、CEとBPの延長線の交点をA'とします。四角形DPCEは正方形になるので、DE＝EC＝６cm。 △APDと△A'PCに関して、　PD＝PC、∠APD＝∠A'PC＝９０度－∠DPA'、∠ADP＝∠A'CP＝９０度より、１辺とその両端の角が等しいことから、△APD≡△A'PC。よって、AP＝A'Pとなり、△APB≡△APA'となります。また、△A'BCに関して、BP＝PA'、およびPQとA'Cが平行となることから、中点連結定理より、BQ＝QCとなります。すると、△ABCに関して、BR＝RA、BQ＝QCとなることから、中点連結定理より、AC＝RQ×２＝１０cmと分かります。従って、△ACEはAC＝１０cm、CE＝６cmとなり、３辺の比が３：４：５の直角三角形となります。よって、AE＝８cmと分かりますので、AD＝A'C＝２cm、A'E＝４cmとなります。従って、△APA'＝△APD＋正方形DPCE－△AA'E－△A'PC ここで、△APD＝△A'PCより、　△APA'＝正方形DPCE－△AA'E＝６×６－１/２×８×４＝２０cm² よって、　△ABP＝△APA'＝２０cm² と求まります。答：　２０cm² 以上


	Bを通りADに平行な直線とDPの延長線の交点をHとします。 △APDと△PBHに関して、　AP＝PB、∠DAP＝９０度－∠APD＝∠HPB、∠APD＝９０度－∠DAP＝９０度－∠HPB＝∠PBHより、１辺とその両端の角が等しいことから△APD≡△PBH、従って、BH＝PD＝６cmとなります。四角形PBHCに関して、　∠BHP＝∠CPH＝９０度よりBHとPCが平行、かつBH＝PC＝６cmより、 △APDと△PBHは平行四辺形となります。よって、対角線BCとPHは互いに相手を２等分するので、BQ＝QCとなり、解答例１と同様、中点連結定理により、AC＝RQ×２＝１０cmと分かります。さて、△DBPと△CAPに関して、　BP＝AP、DP＝CP、∠BPD＝９０度＋∠APD＝∠APCより、２辺とその間の角が等しいことから△DBP≡△CAP、よって、DB＝CA＝１０cmとなります。すると、△ABHはAB＝１０cm、BH＝６cmとなることから、３辺の比が３：４：５の直角三角形となります。よって、AH＝８cm、AD＝PH＝８-６＝２cmと分かります。従って、　△ABP＝台形ABHD－△APD－△PBH＝１/２×（２＋６）×８－１/２×２×６×２＝２０cm² と求まります。


	四角形FGHDおよびEBPAが正方形となるように、点Fと点Gおよび点Eをとります。すると、点EはFG上にあり、点Rは２つの正方形の中心になります。また、△AEF、△EBG、△BPHは△APDと合同な直角三角形となり、 AF＝EG＝BH＝AP＝６cmとなります。従って、解答例２と同様にして、　四角形PBHCが平行四辺形となり、BQ＝QC、PQ＝QH と分かります。さて、FEの中点をTとすると、FT＝FE×１/２＝PQとなり、　四角形FTQPは平行四辺形となります、よって、FP＝TR＝RQ×２＝１０cm。すると、△FPDは３辺の比が３：４：５の直角三角形となり、FD＝８cmと分かります。よって、AD＝PH＝２ｃｍ。以下、解答例２と同様。


	Ｐを原点とし、PCがｘ軸、PDがｙ軸となるような座標軸で考え、HをBからｙ軸に下ろした垂線の足とします。ＡＤ＝d、PH＝h、BH＝bとします。題意より、　AP²＝d²＋６²＝BP²＝b²＋h²。　・・・　（１） APとBPが直交することから、　－６/d×h/b＝－１、よって、h＝b×d/６。　・・・　（２）（１）に代入して、　d²＋６²＝b²＋（b×d/６）²＝（b/６）²×（d²＋６²）よって、b＝６cm、d＝hとなります。そこで、a＝１/２×hとおくと、各点の座標は上図のようになります。従って、　RQ²＝（３＋ａ）²＋３²＝５²よって、３＋ａ＝４となり、ａ＝１と分かります。従って、　△APB＝１/２×AP²＝１/２×（２²＋６²）＝２０cm² と求まります。