第400問の解答


問題[ 平面図形]

問題図 左図のような四角形ABCDがあります。

この四角形の内部に点Pをとったところ、△APB△DPCはともに∠P=90度直角二等辺三角形になり、DPPC6cmとなりました。また、∠ADP90度となったそうです。

いま、DPの延長線と辺BCの交わった点を辺AB中点とすると、QR5cmとなりました。

このとき、直角二等辺三角形APB面積を求めてください。


解答例1

DCTさん、他

Cを通ってQDに引いた直線とADの延長線の交点をEとし、CEBPの延長線の交点をA'とします。

参考図1

四角形DPCE正方形になるので、DEEC6cm

△APD△A'PCに関して、
 PDPC∠APD∠A'PC=90度−∠DPA'∠ADP∠A'CP=90度より、
1辺とその両端の角が等しいことから、△APD△A'PC

よって、APA'Pとなり、△APB≡△APA'となります。

また、△A'BCに関して、BPPA'、およびPQA'C平行となることから、
中点連結定理より、BQQCとなります。

すると、△ABCに関して、BRRABQQCとなることから、
中点連結定理より、ACRQ×2=10cmと分かります。

従って、△ACEAC10cmCE6cmとなり、3辺の比3:4:5直角三角形となります。
よって、AE8cmと分かりますので、ADA'C2cmA'E4cmとなります。

従って、△APA'△APD正方形DPCE△AA'E△A'PC

ここで、△APD△A'PCより、
 △APA'正方形DPCE△AA'E=6×6−1/2×8×4=20cm2

よって、
 △ABP△APA'20cm2
と求まります。

答: 20cm2

以上


解答例2

あ〜く@ぴかぴかの(略さん、BossFさん、小学名探偵さん、ponta55555 さん、omegaさん、arijuneさん、他

Bを通りAD平行な直線DPの延長線の交点Hとします。

参考図2

△APD△PBHに関して、
 APPB∠DAP=90度−∠APD∠HPB∠APD=90度−∠DAP=90度−∠HPB∠PBHより、
1辺とその両端の角が等しいことから△APD△PBH、
従って、BHPD6cmとなります。

四角形PBHCに関して、
 ∠BHP∠CPH90度よりBHPCが平行、かつBHPC6cmより、
△APD△PBH平行四辺形となります。

よって、対角線BCPHは互いに相手を2等分するので、BQQCとなり、
解答例1と同様、中点連結定理により、ACRQ×2=10cmと分かります。

さて、△DBP△CAPに関して、
 BPAPDPCP∠BPD=90度+∠APD∠APCより、
2辺その間の角が等しいことから△DBP△CAP
よって、DBCA10cmとなります。

すると、△ABHAB10cmBH6cmとなることから、3辺の比3:4:5直角三角形となります。
よって、AH8cmADPH=8-6=2cmと分かります。

従って、
 △ABP台形ABHD△APD△PBH=1/2×(2+6)×8−1/2×2×6×2=20cm2
と求まります。


解答例3

CRYING DOLPHINさん、きょろ文さん、はなうさん、他

四角形FGHDおよびEBPA正方形となるように、点F点Gおよび点Eをとります。

参考図3

すると、点EFG上にあり、点R2つ正方形中心になります。

また、△AEF△EBG△BPH△APD合同直角三角形となり、
AFEGBHAP6cmとなります。

従って、解答例2と同様にして、
 四角形PBHC平行四辺形となり、BQQCPQQH
と分かります。

さて、FE中点Tとすると、FTFE×1/2=PQとなり、
 四角形FTQP平行四辺形となります、
よって、FPTRRQ×2=10cm

すると、△FPD3辺の比3:4:5直角三角形となり、FD8cmと分かります。
よって、ADPH2cm

以下、解答例2と同様。


解答例4

なかさん、経友会の進作さん、 他

を原点とし、PCx軸PDy軸となるような座標軸で考え、HBからy軸に下ろした垂線の足とします。

参考図4

ADdPHhBHbとします。

題意より、
 AP
2d2+62BP2b2h2。 ・・・ (1)

APとBPが直交することから、
 −6/d×h/b=−1、
よって、h=b×d/6。 ・・・ (2)

(1)に代入して、
 d2+62b2+(b×d/6)2=(b/6)2×(d2+62
よって、b6cmdhとなります。

そこで、a=1/2×hとおくと、各点の座標は上図のようになります。

従って、
 RQ2=(3+2+32=52
よって、3+=4となり、=1と分かります。

従って、
 △APB=1/2×AP2=1/2×(22+62)=20cm2
と求まります。


(その他の解法)