第４０２問の解答

問題［速さの問題］

マサルさんの乗った船Ａと、トモエさんの乗った船Ｂが、下流のＰ地点を同時に出発しました。

航行の途中、マサルさんは持っていたボールを川に落としてしまい、船長さんにしつこくお願いして船を引き返してもらいました。
すると、マサルさんはボールを落としてから２０分後に船Ｂに乗ったトモエさんとすれ違いました。
さらに、その１０分後、マサルさんはボールを拾い上げ、船Ａは再び向きをかえて上流に向かって出発したところ、２度目に向きをかえてから６０分で船Ｂに追いついたそうです。

では、トモエさんの乗った船Ｂがボールとすれ違ったのは、マサルさんの乗った船Ａとすれ違う何分前だったでしょうか。
ただし、船Ａ、船Ｂとも、静水時の速さは常に一定であるものとし、船の向きをかえるのにかかる時間は０秒とします。

解答例１

トトロ＠Ｎさん、辻。さん、CRYING DOLPHINさん、姉小路さん、M.Hossieさん、DrKさん、あ～く＠ぴかぴかの（略さん、他

下図のようなダイアグラムで考えます。

マサルさんがボールを落とした地点をA、引き返した地点をB、ボールを拾った地点をC、
トモエさんがボールと出会った地点をD、マサルさんとすれ違った地点をE、および
マサルさんに追いつかれた地点をQとします。

マサルさんの船、トモエさんの船とも同じ川の流れ分だけ常に下流に流されています。
従って、川の流れを無視して考えても良いことが分かります。

図２で、マサルさんがE地点からC地点まで１０分掛かったのだから、
C地点からE地点まで（今度はFとします）戻る時間も同じ１０分です。

すると、トモエさんがE→Qに７０分掛かり、マサルさんが同じ距離（F→Q）に５０分掛かったことになります。
従って、同じ距離を進むときの所要時間の比は７：５となります。

さて、図２ではボールは同じ位置で浮かんでいることになるので、D→EとE→Cの距離は同じです。
従って、トモエさんがD→Eに要する時間は、マサルさんがE→Cに要する時間１０分×７/５＝１４分と求まります。

答：　１４分

以上

解答例２

なかさん、小学名探偵さん、小西孝一さん、他

解答例１の図１で、川の流れをv0、マサルさんとトモエさんの船の速度をv1、v2とし、
D→Eのトモエさんの所要時間をｔ分とします。

E→Q（トモエさん）＝E→C→Q（マサルさん）より、
　(v2-v0)×70＝-(v1+v0)×10＋(v1-v0)×６０
従って、
　v2×70＝v1×５０
よって、
　v1/v2＝７/５

D→E（トモエさん）およびE→C（マサルさん）＝D→C（ボール）より、
　(v2-v0)×t-(v1+v0)×10＝-v0×(t+10)
従って、
　v2×t＝v1×10
よって、
　t＝１０×v1/v2＝１０×7/5＝１４分
と求まります。

（その他の解法）

方程式を解いて求める　・・・　ゴンともさん、他
　


	下図のようなダイアグラムで考えます。マサルさんがボールを落とした地点をA、引き返した地点をB、ボールを拾った地点をC、トモエさんがボールと出会った地点をD、マサルさんとすれ違った地点をE、およびマサルさんに追いつかれた地点をQとします。マサルさんの船、トモエさんの船とも同じ川の流れ分だけ常に下流に流されています。従って、川の流れを無視して考えても良いことが分かります。図２で、マサルさんがE地点からC地点まで１０分掛かったのだから、 C地点からE地点まで（今度はFとします）戻る時間も同じ１０分です。すると、トモエさんがE→Qに７０分掛かり、マサルさんが同じ距離（F→Q）に５０分掛かったことになります。従って、同じ距離を進むときの所要時間の比は７：５となります。さて、図２ではボールは同じ位置で浮かんでいることになるので、D→EとE→Cの距離は同じです。従って、トモエさんがD→Eに要する時間は、マサルさんがE→Cに要する時間１０分×７/５＝１４分と求まります。答：　１４分以上


	解答例１の図１で、川の流れをv0、マサルさんとトモエさんの船の速度をv1、v2とし、 D→Eのトモエさんの所要時間をｔ分とします。 E→Q（トモエさん）＝E→C→Q（マサルさん）より、　(v2-v0)×70＝-(v1+v0)×10＋(v1-v0)×６０従って、　v2×70＝v1×５０よって、　v1/v2＝７/５ D→E（トモエさん）およびE→C（マサルさん）＝D→C（ボール）より、　(v2-v0)×t-(v1+v0)×10＝-v0×(t+10) 従って、　v2×t＝v1×10 よって、　t＝１０×v1/v2＝１０×7/5＝１４分と求まります。