第４０３問の解答

問題［整数の性質］

マサルさんは、それぞれ異なる整数の書かれた５枚のカードを持っています。このカードには次のような性質があります。

　「５枚の中から２枚を選ぶと、２つの数字の差と、２つの数字の最大公約数が必ず等しくなる。」

このとき、５枚のカードに書かれた５つの整数の組として考えられるものを１つ答えてください。
ただし、カードに書かれた整数は、４ケタ以内であるものとします。（答えは複数通りありますが、解答はどれか１つで結構です）

解答例１

吉川　マサルさん、数楽者さん、他
異なる整数の集合Ｎについて、「Ｎに属する２つの整数を選ぶと、これらの差と、これらの最大公約数が必ず等しくなる」が成り立つとき、Ｎは性質Ａを満たす集合と呼ぶことにします。
本問は、性質Ａを満たす集合のうち、要素が５個で、いずれも４桁以内の整数であるものを見つけることになります。

まず、次の２つの補題が成り立つことを示します。

（補題１）集合｛ａ、ｂ｝（ただし、ａ＜ｂ）が性質Aを満たすとき、ａ＝ｎ×ｐ、ｂ＝（ｎ＋１）×ｐと表すことができます。
（このとき、ｐ＝ｂ−ａで、かつａとｂの最大公約数）　

（補題２）２つの整数ａ、ｂ（ただし、ａ＜ｂ）が、ａ＝ｎ×ｐ、ｂ＝（ｎ＋１）×ｐと表すことができるなら、
集合｛ａ、ｂ｝は性質Ａを満たします。　

（補題１）の証明

ｐをａとｂの最大公約数とします。
ａ＝ａ’×ｐ、ｂ＝ｂ’×ｐと表すことができます。
すると、ｐ＝ｂ−ａ＝（ｂ’−ａ’）×ｐとなりますが、ｐ≠０なので、　ｂ’−ａ’＝１となります。
ｎ＝ａ’とおけば、ｂ’＝ａ’＋１＝ｎ＋１だから、ａ＝ｎ×ｐ、ｂ＝（ｎ＋１）×ｐとなります。

（補題２）の証明

ａ＝ｎ×ｐ、ｂ＝（ｎ＋１）×ｐより、ｂ−ａ＝ｐとなります。
ここで、ｐはａとｂの公約数ですが、最大公約数ｐ’とは異なると仮定します。
すると、公約数ｐは最大公約数ｐ’の約数となるので、ｐ’＝ｃ×ｐと表せます。
ここで、ａ＝ａ''×ｐ'、ｂ＝ｂ''×ｐ’と表すことができるので、
ｐ＝ｂ−ａ＝（ｂ''−ａ''）×ｐ'＝（ｂ''−ａ''）×ｃ×ｐ。
すると、ｐ≠０なので、ｂ''−ａ''＝ｃ＝１となります。
これは、ｐ≠ｐ’に反します。
よって、ｐはａとｂの最大公約数となるので、｛ａ、ｂ｝は性質Ａを満たすことになります。　

さて、さらに次の補題３が成り立つことを示しましょう。

（補題３）集合｛ａi｝（ただし、i＜jのときａi＜aj）が性質Aを満たすとき、集合｛ｑ、｛ａi＋ｑ｝｝も性質Ａを満たす。
（ただし、ｑは｛ａi｝の最小公倍数）　

（補題３）の証明

  • まず、ａi＋ｑとａj＋ｑ（ただし、i＜j）について考えます。
    ａ    iとａjは性質Ａを満たすので、補題１より、
     ａi＝ｎ×ｐ、ａj＝（ｎ＋１）×ｐ（ｐ＝ａj−ａiで、かつａiとａiの最大公約数）と表すことができます。

ｐは、ａiとａiの最大公約数なので｛ａi｝の最大公約数であるｑの約数。
よって、ｑ＝ｃ×ｐと表すことができます。

すると、ａi＋ｑ＝ｎ×ｐ＋ｃ×ｐ＝（ｎ＋ｃ）×ｐ、ａi＋ｑ＝（ｎ＋１）×ｐ＋ｃ×ｐ＝（ｎ＋ｃ＋１）×ｐとなり、
補題２から、ａi＋ｑとａj＋ｑも性質Ａを満たすことが分かります。

  • つぎに、ｑとａi＋ｑとについて考えます。
    ｑは｛ａi｝の最大公約数なので、ｑ＝ｃ×ａiと表すことができます×ａi

ｑ＝ｃ×ａi、ａi＋ｑ＝ａi＋ｃ×ａi＝（ｃ＋１）×ａiとなり、
補題２から、ｑとａi＋ｑも性質Ａを満たすことが分かります。

以上から、集合｛ｑ、｛ａi＋ｑ｝｝は、任意の２つの要素が性質Ａを満たすので、集合｛ｑ、｛ａi＋ｑ｝｝も性質Ａを満たすことになります。

それでは、補題３を用いて、本問にトライしてみましょう。

  • まず、｛１、２｝は、１＝１×１、２＝（１＋１）×１なので、補題２により、性質Ａを満たします。

  • 次に｛１、２｝の最小公倍数は２なので、｛２、１＋２、２＋２｝＝｛２、３、４｝も性質Ａを満たします。

  • そして、｛２、３、４｝の最小公倍数は１２なので、｛１２、２＋１２、３＋１２、４＋１２｝＝｛１２、１４、１５、１６｝も性質Ａを満たします。

  • さらに、｛１２、１４、１５、１６｝の最小公倍数は１６８０なので、｛１６８０、１２＋１６８０、１４＋１６８０、１５＋１６８０、１６＋１６８０｝＝｛１６８０、１６９２、１６９４、１６９５、１６９６｝も性質Ａを満たします。

答（例）：　１６８０、１６９２、１６９４、１６９５、１６９６

以上

解答例２

うのたかはるさん、ひだ弟さん、小学名探偵さん、他

  • ｛ａn|ａn＝ａ（ｎ＝１のとき）、ａn＝ａ×（ｎ＋1)/ｎ（ｎ＝２〜５のとき）｝を考えます。（ただし、ａ1＜ａ5＜ａ4＜ａ3＜ａ2）

ａ1とａn（ｎ＝２〜５）の２個ずつは、補題２により性質Ａを満たします。
残りの組み合わせでもすべて性質Ａを満たすものを探索すると、n＝２、ａ＝６０のときＯＫ、
　　６０、７２、７５、８０、９０
を得ます。

  • ｛ａn|ａn＝ａ（ｎ＝１のとき）、ａn＝ａ×ｎ/（ｎ＋1)（ｎ＝２〜５のとき）｝を考えます。（ただし、ａ2＜ａ3＜ａ4＜ａ5＜ａ1）

ａ1とａn（ｎ＝２〜５）の２個ずつは、補題２により性質Ａを満たします。
残りの組み合わせでもすべて性質Ａを満たすものを探索すると、n＝２、ａ＝ ６０のときＯＫ、
　　４０、４５、４８、５０、６０
を得ます。

解答例３

辻。さん、DrKさん、小西孝一さん、M.Hossieさん、uchinyanさん、おかひで博士さん、ｎ厨さん、みかんさん、トトロ＠Ｎさん、他多数

  • 差が１２、２、１、１のとき題意を満たすものを探索、
    　５０４０、５０５２、５０５４、５０５５、５０５６
    を得る。
    　

  • 差が１、２、２、４のとき題意を満たすものを探索、
    　１３５、１３６、１３８、１４０、１４４
    を得る。
    　

  • ６０をベースにそて、６０の約数を足して題意を満たすものを探索、
    　６０、６３、６４、６６、７２
    を得る。
    　

  • 公約数が ３、４、５、６辺りになると踏んで、その最小公倍数である１２０近辺を中心に探索、
    　１０５、１０８、１１０、１１２、１２０
    を得る。
    　

  • 条件を式にして、後は試行錯誤、
    　２１０、２１６、２２０、２２４、２２５
    を得る。
    　

  • 補題２を利用してエクセルを使って探索
    　

  • ７２０がらみで探索、
    　７２０、７５０、７６０、７８０、８００
    を得る。
    　

  • ５つの整数の中で最大の数は最小の２倍以内。それに約数の多そうな整数を選んで探索
    　

  • ６０あたりで探索、
    　６０、６３、６４、６６、７２
    を得る。

（その他の解法）