第405問の解答


問題[ 整数の性質]

ある整数と、よりも2だけ大きい整数を考えます。
いま、整数各位の数の和を[]、整数各位の数の和を[]として、そのとします)を求めることにします。
(例えば,=19であれば、=19+2=21で、[]=1+9=10、[]=2+1=3ですから、=10−3=7です。)

このとき、300以下整数の中で、になることのできるいくつあるでしょうか。


解答例1

トトロ@Nさん、きょろ文さん、おかひで博士さん、DrKさん、始 受験勉強君さん、あーく@携帯さん、辻。さん、姉小路さん、いちたすにはさん、小西孝一さん、uchinyanさん、ゴンともさん、N.Nishiさん、tekiさん、他 多数

参考図1

[A]−[B]について、桁上がり関係しない部分は、各位の数の和ABとも等しいので、無視して考えます。

  • 桁上がりのないとき ・・ 例えば、A=7B=9のとき
    [A]=、[B]=より、[A]−[B]=−2
     

  • 桁上がり1桁のとき ・・ 例えば、A=8B=10のとき
    [A]=、[B]=より、[A]−[B]=
     

  • 桁上がり2桁のとき ・・ 例えば、A=98B=100のとき
    [A]=8+9、[B]=より、[A]−[B]=7+9
     

  • 桁上がり3桁のとき ・・ 例えば、A=998B=1000のとき
    [A]=8+9+9、[B]=より、[A]−[B]=7+9+9
     ・・・・・

となって、[A]−[B]は、初項−2公差等差数列になります。

X=[A]−[B]の絶対値となりますが、[A]−[B]がとなるのは−2だけだから、のものとは重複しません。
従って、Xの個数と[A]−[B]の個数は一致します。

[A]−[B]の一般項=−2+(−1)×9≦300より、≦(300+2)÷9+1=34.55......

よって、300以下の整数では、=1〜34の34個と求まります。

答: 34個

以上