第405問の解答
問題[ 整数の性質]
ある整数Aと、Aよりも2だけ大きい整数Bを考えます。
いま、整数Aの各位の数の和を[A]、整数Bの各位の数の和を[B]として、その差(Xとします)を求めることにします。
(例えば,A=19であれば、B=19+2=21で、[A]=1+9=10、[B]=2+1=3ですから、X=10−3=7です。)このとき、300以下の整数の中で、Xになることのできる数はいくつあるでしょうか。
解答例1
トトロ@Nさん、きょろ文さん、おかひで博士さん、DrKさん、始 受験勉強君さん、あーく@携帯さん、辻。さん、姉小路さん、いちたすにはさん、小西孝一さん、uchinyanさん、ゴンともさん、N.Nishiさん、tekiさん、他 多数
[A]−[B]について、桁上がりに関係しない部分は、各位の数の和がA、Bとも等しいので、無視して考えます。
桁上がりのないとき ・・ 例えば、A=7、B=9のとき
[A]=7、[B]=9より、[A]−[B]=−2
桁上がりが1桁のとき ・・ 例えば、A=8、B=10のとき
[A]=8、[B]=1より、[A]−[B]=7
桁上がりが2桁のとき ・・ 例えば、A=98、B=100のとき
[A]=8+9、[B]=1より、[A]−[B]=7+9
桁上がりが3桁のとき ・・ 例えば、A=998、B=1000のとき
[A]=8+9+9、[B]=1より、[A]−[B]=7+9+9
・・・・・となって、[A]−[B]は、初項が−2、公差が9の等差数列になります。
X=[A]−[B]の絶対値となりますが、[A]−[B]が負となるのは−2だけだから、正のものとは重複しません。
従って、Xの個数と[A]−[B]の個数は一致します。[A]−[B]の一般項=−2+(n−1)×9≦300より、n≦(300+2)÷9+1=34.55......
よって、300以下の整数では、n=1〜34の34個と求まります。
答: 34個
以上