第４０５問の解答

問題［ 整数の性質］

ある整数Ａと、Ａよりも２だけ大きい整数Ｂを考えます。
いま、整数Ａの各位の数の和を［Ａ］、整数Ｂの各位の数の和を［Ｂ］として、その差（Ｘとします）を求めることにします。
（例えば，Ａ＝１９であれば、Ｂ＝１９＋２＝２１で、［Ａ］＝１＋９＝１０、［Ｂ］＝２＋１＝３ですから、Ｘ＝１０−３＝７です。）

このとき、３００以下の整数の中で、Ｘになることのできる数はいくつあるでしょうか。

解答例１

トトロ＠Ｎさん、きょろ文さん、おかひで博士さん、DrKさん、始　受験勉強君さん、あーく＠携帯さん、辻。さん、姉小路さん、いちたすにはさん、小西孝一さん、uchinyanさん、ゴンともさん、N.Nishiさん、tekiさん、他 多数

参考図１

[A]−[B]について、桁上がりに関係しない部分は、各位の数の和がA、Bとも等しいので、無視して考えます。

  • 桁上がりのないとき　・・　例えば、A=７、B＝９のとき
    [A]＝７、[B]＝９より、[A]−[B]＝−２
    　

  • 桁上がりが１桁のとき　・・　例えば、A=８、B＝１０のとき
    [A]＝８、[B]＝１より、[A]−[B]＝７
    　

  • 桁上がりが２桁のとき　・・　例えば、A=９８、B＝１００のとき
    [A]＝８＋９、[B]＝１より、[A]−[B]＝７＋９
    　

  • 桁上がりが３桁のとき　・・　例えば、A=９９８、B＝１０００のとき
    [A]＝８＋９＋９、[B]＝１より、[A]−[B]＝７＋９＋９
    　・・・・・

となって、[A]−[B]は、初項が−２、公差が９の等差数列になります。

X＝[A]−[B]の絶対値となりますが、[A]−[B]が負となるのは−２だけだから、正のものとは重複しません。
従って、Xの個数と[A]−[B]の個数は一致します。

[A]−[B]の一般項＝−２＋（ｎ−１）×９≦３００より、ｎ≦（３００＋２）÷９＋１＝３４．５５......

よって、３００以下の整数では、ｎ＝１〜３４の３４個と求まります。

答：　３４個

以上