第４０６問の解答
問題［ 平面図形］
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左図のような、ＡＢ＝１０cm、ＡＣ＝５cmである△ＡＢＣがあります。 いま、∠Ａの二等分線上にＡＤ＝２cmとなる点Ｄをとり、ＣとＤを結んだところ、ＣＤ：ＢＣ＝１：３となりました。（ただし、点Ｄは、△ＡＢＣの内部（辺上は含みません）にあるものとします。） このとき、ＡＤＣの面積を求めてください。 |
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解答例１
takaisaさん、姉小路さん、、辻。さん、uchinyanさん、なかさん、他
ADの延長とBCの交点をPとし、CからAPに下ろした垂線の足をHとします。
APは∠BACの二等分線だから、
BP：PC＝AB：AC＝２：１。よって、PC＝DC＝BP×１/３となり、△CDPは二等辺三角形となります。
従って、∠CDP＝∠CPD、
よって、∠ADP＝１８０°－∠CDP＝１８０°－∠CPD＝∠APB。すると、△ABPと△ACPは２つの角が等しいので相似、
従って、AP：AB＝AD：AC、
よって、AP＝AB×AD/AC＝１０×２/５＝４cm。従って、DP＝AP－AD＝４－２＝２cm。
よって、HはDPの中点だから、DH＝HP＝1cm。よって、AH＝AD＋DH＝２＋１＝1cm。
すると、△CAHは辺の長さが３：４：５の直角三角形となり、
CH＝４ｃｍと求まります。よって、
△ADC＝１/２×AD×CH＝１/２×２×２＝４cm2
と求まります。答： ４cm2
以上
解答例２
始 受験勉強君さん、すてっぷさん、他
ACを延長してCE＝ACとなるように点Eをとります。
また、ADを延長し、BC、BEとの交点をP、M、およびCからAMに下ろした垂線の足をHとします。
AB＝AE＝１０ｃｍより、△ABEは二等辺三角形となり、
∠BAM＝∠CAMよりAMはBEの垂直二等分線となります。よって、HCとMEは平行となり中点連結定理より、
HC＝ME×１/２。△PBMと△PCHは、∠BPM＝∠CPH（対頂角）、∠PMB＝∠PHC＝９０°より相似、
従って、BP：PC＝BM：CH＝ME：HC＝２：１、PM：PH＝２：１。よって、PC＝BC×１/３＝DCとなり、△CDPは二等辺三角形と分かります。
ここで、DH＝HP＝①とすると、PM＝②、AH＝HM＝③より、AD＝AH－AD＝②、
よって、DH＝HP＝１ｃｍと求まります。
以下同様。
解答例３
小西孝一さん、他
点EをABの中点とし、Cを通りABに平行な直線とADの延長線の交点をA'とします。
また、AA'とCEおよびBCとの交点をH、Pとします。
△AECは二等辺三角形で、∠EAH＝∠CAHより、AHはECの垂直二等分線となります。
また、ABとA'Cは平行だから∠CA'A＝∠BAA'＝ＣＡＡ'、
よって、△ＣＡＡ'はＣＡ＝ＣＡ'＝５ｃｍの二等辺三角形と分かります。さらに、△ABPと△A'CPは、∠APB＝∠A'PC、∠BAP＝∠CA'Pより相似、
BP：PC＝AB：A'C＝２：１、
よって、PC＝BC×１/３＝DCとなり、△CDPは二等辺三角形と分かります。また、△CA'Pと△CADは、∠CPA'＝CAD、∠CA'P＝CADより、相似かつCA'＝CAより合同、
よって、A'P＝AD＝２ｃｍとなります。さらに、AP＝A'P×２＝４ｃｍより、DP＝AP－AD＝２ｃｍ、
よって、DH＝HP＝１ｃｍと求まります。
以下同様。
解答例４
きょろ文さん、他
点EをABの中点、点PをADとBCの交点、点HをECとAPの交点とします。
APは∠BACの二等分線だから、BP：PC＝AB：AC＝２：１、
よって、PC＝BC×１/３＝DC。また、△AECは、AE＝AC＝５ｃｍの二等辺三角形だから、
AHはECの垂直二等分線となり、DE＝DC、PE＝PC。
よって、四角形EPCDは菱形と分かります。すると、EDはBCと平行で、EはABの中点だから、中点連結定理より、
DはAPの中点、
従って、DP＝AD＝２ｃｍ。よって、DH＝HP＝１ｃｍと求まります。
以下同様。
（その他の解法）
余弦定理を用いてcosθを求める ・・・ ゴンともさん、M.Hossieさん、 他
θ＝∠BAD＝∠CADとおくと、50*(cosθ)^2-45*cosθ+9=0よりcosθ=3/5
(cosθ=-3/10はDがBC上になりより不適)
sinθ＝4/5 、△ADC=(AD*AC*sinθ)/2=(2*5*4/5)/2=4cm2
CADで書き面積を求めた ・・・ kasamaさん、 他