第４０７問の解答
問題［整数の性質］
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ある１０ケタの整数があります。この整数は、以下のような性質を持っています。
また、この整数は、各位に使われる数字が全て異なっています。 |
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解答例１
辻。さん、呑さん、、あ～く＠ぴかぴかの（略さん、始 受験勉強君さん、おかひで博士さん、姉小路さん、圭太さん、小西孝一さん、Toru Fukatsuさん、M.Hossieさん、水田Xさん、DrKさん、なかさん、ゴンともさん、uchinyanさん、すてっぷさん、ちこりんさん、ｎ厨さん、他
求める整数をX＝ABCDEFGHIJとし、「上ｎケタの数は、ｎで割りきれる」という条件を「条件ｎ」と いうことにします。
（ステップ①）
条件１０よりJ＝０、条件５よりE＝５と決まります。
条件２、条件４、条件６、条件８より、B、D、F、Hは偶数（２、４、６、８）となるので、
A、C、G、Iは奇数（１、３、７、９）と分かります。（ステップ②）
条件３、条件６、条件９よりABC、ABCDEF、ABCDEFGHIは３の倍数（各位の数字の和が３）となります。
条件６の（A＋B＋C）＋（D＋E＋F）が３の倍数は、条件３よりA＋B＋Cが３の倍数だから、（D＋E＋F）が３の倍数、あとはFが偶数なのでABCDEFが６の倍数という条件はOK。
条件９も同様にしてG＋H＋Iが３の倍数となりますが、最終的にはA＋B＋C＋・・・＋I＝１＋２＋・・・＋９＝４５だからOK。
さて、DEFはE＝５と決まっているので、D＋５＋Fが３の倍数となるのは、
（D、F）＝（２、８）、（８、２）、（４、６）、（６、４）の組み合わせのみとなります。（ステップ③）
条件４よりABCDは４の倍数となりますが、ABCD＝AB×１００＋CDで１００＝２５×４だから、CDが４の倍数となります。
ところが、Cは奇数（１、３、７、９）なので、このような４の倍数は、CD＝１２、１６、３２、３６、７２、７６、９２、９６、従ってD＝２、６のいずれかとなります。
また、条件８よりABCDRFGHは８の倍数となりますが、ABCDEFGH＝ABCDEF×１００＋GHで１００＝２５×４でしかもFは偶数だから、ABCDEF×１００は８の倍数、従ってGHが８の倍数となります。
ところが、Gは奇数（１、３、７、９）なので、このような８の倍数は、GH＝１６、３２、７２、９６、従ってH＝２、６のいずれかとなります。（ステップ④）
ステップ③より（D、H）＝（２、６）、（６、２）となるので、F＝２または６とはなりません。
従って、ステップ②で求まったDEF＝８５２、４５６は不適、DEF＝２５８、６５４のどちらかになります。（ステップ⑤）
DEF＝２５８のとき、H＝６、従ってB＝４となり、BCDEFGH＝４C２５８G６
DEF＝６５４のとき、H＝２、従ってB＝８となり、BCDEFGH＝８C６５４G２
のいずれかとなります。（ステップ⑤）
BCDEFGH＝４C２５８G６のとき、A＋４＋Cが３の倍数となるのは、（A、B）＝（１、７）、（７、１）の２通り。このとき（G、I）＝（３、９）、（９、３）ですが、ステップ③の結果よりGH＝９６のみが適します。
従って、X＝１４７２５８９６３０、７４１２５８９６３０の２通り。
BCDEFGH＝８C６５４G２のとき、A＋４＋Cが３の倍数となるのは、（A、B）＝（１、３）、（１、９）、（３、１）、（３、７）、（７、３）、（７、９）、（９、１）、（９、７）、の８通り。
それぞれについてステップ③のGHに適するものに絞っていけば、X＝１８３６５４７２９０、１８９６５４３２７０、１８９６５４７２３０、３８１６５４７２９０、７８９６５４３２１０、９８１６５４３２７０，９８１６５４７２３０，９８７６５４３２１０の８通りとなります。（ステップ⑥）
ステップ⑤で絞られた合計１０通りの整数のなかで、条件７を満たすものはX＝３８１６５４７２９０のみ。これが求める整数となります。
答： ３８１６５４７２９０
以上
（その他の解法）
プログラムで調べる ・・・ ミキティさん、まるケンさん、ちこりんさん、kasamaさん、ハラギャーテイさん、???さん、ちこりんさん、 他