第４１０問の解答

問題［平面図形］

左図のように、△ＡＢＣの辺ＡＣを一辺とし、ＱＡ＝ＱＣである直角二等辺三角形ＱＡＣと、辺ＡＢを一辺とし、ＰＡ＝ＰＢである直角二等辺三角形ＰＡＢを△ABCの外側に作りました。

また、辺ＢＣの中点をＭとし、ＱとＭを結んだところ、ＱＭ＝１０cmとなりました。

このとき、五角形ＡＰＢＣＱ（△ＡＢＣ＋△ＰＡＢ＋△ＱＡＣ）の面積を求めてください。

解答例１

あ～く＠ぴかぴかの（略さん、hiroさん、消しゴムパトロールさん、小西孝一さん、きょろ文さん、uchinyanさん、他

Pを中心に△PBMを反時計回りに９０度回転（頂点BがAに移動）したものを△PAM’、
Qを中心に△QCMを９０度回転（頂点CがAに移動）したものを△QAM’’とします。

　（∠M’AP＋∠M’’AQ）＋（∠PAB＋∠BAC＋∠QAC）
＝（∠PBM＋∠QCM）＋（∠PAB＋∠BAC＋∠QAC）
＝｛（４５°＋∠ABC）＋（４５°＋∠ACB）｝＋（４５°＋∠BAC＋４５°）
＝４５°×４＋（∠ABC＋∠ACB＋∠BAC）
＝１８０°＋１８０°＝３６０°

従って、辺M’Aと辺M’’Aは重なることが分かります。
ところが、M’A＝MB＝MC＝M’’Aより、頂点M’とM’’は一致することになります。

さて、
　∠M’PM＝∠M’PA＋∠APM＝∠MPB＋∠APM＝９０°、
　∠M’’QM＝∠M’’QA＋∠AQM＝∠MQC＋∠APM＝９０°

よって、△M’PMと△M’’QMは、それぞれ直角二等辺三角形になり、
かつ斜辺M’Mが共通なので、これらは合同となります。

従って、四角形M’PMQは１辺が１０ｃｍの正方形となります。

よって、
　五角形ＡＰＢＣＱ
＝四角形APMQ＋△PBM＋△QCM
＝四角形APMQ＋△PAM’＋△QAM’
＝正方形M’PMQ
＝１０×１０＝１００cm²
と求まります。

答：　１００cm²

以上

解答例２

arijuneさん、他

AQに関するCの対称点をD、APに関するBの対称点をEとします。
さらに、△ABMをAがE、BがAと一致するように移動したものを△EAM’、
および、△ACMをAがD、CがAと一致するように移動したものを△DAM’’とします。

　（∠EAM’＋∠DAM’’）＋（∠EAB＋∠BAC＋∠DAC）
＝（∠ABM＋∠ACM）＋（９０°＋∠BAC＋９０°）
＝（∠ABM＋∠ACM＋∠BAC）＋９０°×２
＝１８０°＋１８０°＝３６０°

従って、辺M’Aと辺Ｍ’’Ａは重なることが分かります。
また、M’A＝ＢＭ＝ＣＭ＝Ｍ’’Ａとなることから、Ｍ’とＭ’’は一致することになります。

さて、ＢＭ＝ＣＭ、ＤＱ＝ＣＱだから、中点連結定理により、
　ＢＤとＭＱは平行で、ＢＤ＝ＭＱ×２＝２０ｃｍとなります。

また、△ＢＡＤと△ＥＡＣについて、
　ＢＡ＝ＥＡ、ＡＤ＝ＡＣ、∠ＢＡＤ＝９０°＋∠ＥＡＤ＝∠ＥＡＣより、
２辺と挟角が等しいので合同となります。

２つの三角形はＢＡがＥＡになることから９０°回転したことになるので、
ＢＤ＝ＥＣ＝２０ｃｍで、ＢＤとＥＣは直交することが分かります。

よって、
　四角形ＥＢＣＤ＝１/２×ＥＣ×ＢＤ＝１/２×２０×２０＝２００ｃｍ²

従って、
　五角形ＡＰＢＣＱ＝１/２×四角形ＥＢＣＤ＝１００ｃｍ²
と求まります。

解答例３

omegaさん、他

五角形ＡＰＢＣＱを１８０°回転したものをＡ’Ｐ’ＣＢＱ’とします。

すると、ＰＱとＱ’Ｐ’は、平行かつ長さが等しいので、四角形ＰＱ’Ｐ’Ｑは平行四辺形となります。
また、ＰＭＰ’とＱＭＱ’は、それぞれ一直線となるので、平行四辺形ＰＱ’Ｐ’Ｑの対角線になります。

さて、△ＰＡＱと△Ｐ’ＣＱについて、
　ＰＡ＝ＰＢ＝Ｐ’Ｃ、ＱＡ＝ＱＣ、∠ＰＡＱ＝２７０°－∠ＢＡＣ＝９０°＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝∠Ｐ’ＣＱ
となり、２辺と挟角が等しいので合同となります。

同様に、△ＰＢＱと△Ｐ’Ａ’Ｑ’も合同となり、これら４つの三角形はすべて合同となります。

従って、平行四辺形ＰＱ’Ｐ’Ｑは菱形になります。

さて、∠ＰＱＰ’＝∠ＰＱＡ＋∠ＡＱＰ’＝∠Ｐ’ＱＣ＋∠ＡＱＰ’＝９０°、
よって、菱形ＰＱ’Ｐ’Ｑは、１辺が１０ｃｍの正方形と分かります。

以上から、
　五角形ＡＰＢＣＱ＋五角形Ａ’Ｐ’ＣＢＱ’＝正方形ＰＱ’Ｐ’Ｑ＝１０×１０×２＝２００ｃｍ²
よって、
　五角形ＡＰＢＣＱ＝１/２×２００ｃｍ²＝１００ｃｍ²
と求まります。

解答例４

水田Xさん、他

ＡＢの中点をＤ、ＡＣの中点をＥとします。

△ＰＡＢは直角二等辺三角形だから、ＰＤ＝ＢＤ＝ＡＤで、ＰＤとＡＢは直交します。
同様に、△ＱＡＣは直角二等辺三角形だから、ＱＥ＝ＡＥ＝ＡＣで、ＱＥとＡＣは直交します。

また中点連結定理より、
　ＤＭはＡＣと平行で、ＤＭ＝１/２×ＡＣ＝ＱＥ、および
　ＥＭはＡＢと平行で、ＥＭ＝１/２×ＡＢ＝ＰＤ
となります。

よって、四角形ＡＤＭＥは平行四辺形となります。

また、
　∠ＰＤＭ＝９０°＋∠ＡＤＭ＝９０°＋∠ＡＥＭ＝∠ＱＥＭ

よって、△ＰＤＭと△ＭＥＱは、２辺と挟角が等しいので合同と分かります。

さて、
　∠ＰＭＱ
＝１８０°－（∠ＤＭＢ＋∠ＰＭＤ＋∠ＱＭＥ＋∠ＥＭＣ）
＝１８０°－（∠ＤＭＢ＋∠ＰＭＤ＋∠ＭＰＤ＋∠ＤＢＭ）
＝∠ＤＰＢ＋∠ＤＢＰ＝９０°

よって、△ＰＭＱは直角二等辺三角形と分かります。

また、ＰＡ：ＰＤ＝ＱＡ：ＱＥ＝√２：１で、
　∠ＰＡＱ＝２７０°－∠ＢＡＣ
＝９０°＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ
＝９０°＋∠ＤＢＭ＋∠ＤＭＢ
＝９０°＋∠ＡＤＭ
＝∠ＰＤＭ

よって、△ＰＡＱは、△ＰＤＭおよび△ＭＥＱと相似で、相似比は√２：１

従って、△ＰＡＱ＝△ＰＤＭ＋△ＭＥＱとなります。

よって、
　△ＰＤＡ＋△ＡＤＭ＋△ＱＡＥ＋△ＡＥＭ
＝△ＰＡＱ＋△ＡＤＭ＋△ＱＡＥ
＝△ＰＭＱ

ところが、
　△ＰＤＢ＝△ＰＤＡ、△ＢＤＭ＝△ＡＤＭ、△ＱＣＥ＝△ＱＡＥ、△ＣＥＭ＝△ＡＥＭ
より、
　△ＰＤＢ＋△ＢＤＭ＋△ＱＣＥ＋△ＣＥＭ
＝△ＰＤＡ＋△ＡＤＭ＋△ＱＡＥ＋△ＡＥＭ
＝△ＰＭＱ

よって、
　五角形ＡＰＢＣＱ＝２×△ＰＭＱ＝２×（１/２×１０×１０）＝１００ｃｍ²
と求まります。

（その他の解法）

10√2*5√2=100 ・・・　takaisaさん、他
　

△ABCが直角二等辺三角形など特殊な場合を想定して解く　・・・　トトロ＠Ｎさん、ＡЯＯＴさん、うのたかはるさん、まるケンさん、mhayashiさん、長野　美光さん、始受験勉強君さん、辻。さん、fファルコンさん、姉小路さん、tomhさん、うーさん、ハラギャーテイさん、M.Hossieさん、dottoreさん、さいと散さん、他多数
　

問題の図形をCadで作図して計算　・・・　kasamaさん、他
　

ベクトルで解く　・・・　Toru Fukatsuさん、他
　

複素数を使って解く　・・・　uchinyanさん、他


	AQに関するCの対称点をD、APに関するBの対称点をEとします。さらに、△ABMをAがE、BがAと一致するように移動したものを△EAM’、および、△ACMをAがD、CがAと一致するように移動したものを△DAM’’とします。　（∠EAM’＋∠DAM’’）＋（∠EAB＋∠BAC＋∠DAC）＝（∠ABM＋∠ACM）＋（９０°＋∠BAC＋９０°）＝（∠ABM＋∠ACM＋∠BAC）＋９０°×２＝１８０°＋１８０°＝３６０° 従って、辺M’Aと辺Ｍ’’Ａは重なることが分かります。また、M’A＝ＢＭ＝ＣＭ＝Ｍ’’Ａとなることから、Ｍ’とＭ’’は一致することになります。さて、ＢＭ＝ＣＭ、ＤＱ＝ＣＱだから、中点連結定理により、　ＢＤとＭＱは平行で、ＢＤ＝ＭＱ×２＝２０ｃｍとなります。また、△ＢＡＤと△ＥＡＣについて、　ＢＡ＝ＥＡ、ＡＤ＝ＡＣ、∠ＢＡＤ＝９０°＋∠ＥＡＤ＝∠ＥＡＣより、２辺と挟角が等しいので合同となります。２つの三角形はＢＡがＥＡになることから９０°回転したことになるので、ＢＤ＝ＥＣ＝２０ｃｍで、ＢＤとＥＣは直交することが分かります。よって、　四角形ＥＢＣＤ＝１/２×ＥＣ×ＢＤ＝１/２×２０×２０＝２００ｃｍ² 従って、　五角形ＡＰＢＣＱ＝１/２×四角形ＥＢＣＤ＝１００ｃｍ² と求まります。


	五角形ＡＰＢＣＱを１８０°回転したものをＡ’Ｐ’ＣＢＱ’とします。すると、ＰＱとＱ’Ｐ’は、平行かつ長さが等しいので、四角形ＰＱ’Ｐ’Ｑは平行四辺形となります。また、ＰＭＰ’とＱＭＱ’は、それぞれ一直線となるので、平行四辺形ＰＱ’Ｐ’Ｑの対角線になります。さて、△ＰＡＱと△Ｐ’ＣＱについて、　ＰＡ＝ＰＢ＝Ｐ’Ｃ、ＱＡ＝ＱＣ、∠ＰＡＱ＝２７０°－∠ＢＡＣ＝９０°＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝∠Ｐ’ＣＱとなり、２辺と挟角が等しいので合同となります。同様に、△ＰＢＱと△Ｐ’Ａ’Ｑ’も合同となり、これら４つの三角形はすべて合同となります。従って、平行四辺形ＰＱ’Ｐ’Ｑは菱形になります。さて、∠ＰＱＰ’＝∠ＰＱＡ＋∠ＡＱＰ’＝∠Ｐ’ＱＣ＋∠ＡＱＰ’＝９０°、よって、菱形ＰＱ’Ｐ’Ｑは、１辺が１０ｃｍの正方形と分かります。以上から、　五角形ＡＰＢＣＱ＋五角形Ａ’Ｐ’ＣＢＱ’＝正方形ＰＱ’Ｐ’Ｑ＝１０×１０×２＝２００ｃｍ² よって、　五角形ＡＰＢＣＱ＝１/２×２００ｃｍ²＝１００ｃｍ² と求まります。


	ＡＢの中点をＤ、ＡＣの中点をＥとします。 △ＰＡＢは直角二等辺三角形だから、ＰＤ＝ＢＤ＝ＡＤで、ＰＤとＡＢは直交します。同様に、△ＱＡＣは直角二等辺三角形だから、ＱＥ＝ＡＥ＝ＡＣで、ＱＥとＡＣは直交します。また中点連結定理より、　ＤＭはＡＣと平行で、ＤＭ＝１/２×ＡＣ＝ＱＥ、および　ＥＭはＡＢと平行で、ＥＭ＝１/２×ＡＢ＝ＰＤとなります。よって、四角形ＡＤＭＥは平行四辺形となります。また、　∠ＰＤＭ＝９０°＋∠ＡＤＭ＝９０°＋∠ＡＥＭ＝∠ＱＥＭよって、△ＰＤＭと△ＭＥＱは、２辺と挟角が等しいので合同と分かります。さて、　∠ＰＭＱ＝１８０°－（∠ＤＭＢ＋∠ＰＭＤ＋∠ＱＭＥ＋∠ＥＭＣ）＝１８０°－（∠ＤＭＢ＋∠ＰＭＤ＋∠ＭＰＤ＋∠ＤＢＭ）＝∠ＤＰＢ＋∠ＤＢＰ＝９０° よって、△ＰＭＱは直角二等辺三角形と分かります。また、ＰＡ：ＰＤ＝ＱＡ：ＱＥ＝√２：１で、　∠ＰＡＱ＝２７０°－∠ＢＡＣ＝９０°＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝９０°＋∠ＤＢＭ＋∠ＤＭＢ＝９０°＋∠ＡＤＭ＝∠ＰＤＭよって、△ＰＡＱは、△ＰＤＭおよび△ＭＥＱと相似で、相似比は√２：１従って、△ＰＡＱ＝△ＰＤＭ＋△ＭＥＱとなります。よって、　△ＰＤＡ＋△ＡＤＭ＋△ＱＡＥ＋△ＡＥＭ＝△ＰＡＱ＋△ＡＤＭ＋△ＱＡＥ＝△ＰＭＱところが、　△ＰＤＢ＝△ＰＤＡ、△ＢＤＭ＝△ＡＤＭ、△ＱＣＥ＝△ＱＡＥ、△ＣＥＭ＝△ＡＥＭより、　△ＰＤＢ＋△ＢＤＭ＋△ＱＣＥ＋△ＣＥＭ＝△ＰＤＡ＋△ＡＤＭ＋△ＱＡＥ＋△ＡＥＭ＝△ＰＭＱよって、　五角形ＡＰＢＣＱ＝２×△ＰＭＱ＝２×（１/２×１０×１０）＝１００ｃｍ² と求まります。