第４１１問の解答
問題［整数の性質 ］
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１〜６の数字の書かれたカードがたくさんあります。
これらのカードを使って、２でも３でも５でも割りきれない整数を小さいほうから順に作ることにします。 このときできる整数のうち、小さいほうから３４５番目の整数を求めてください。 |
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解答例１
あ〜く＠ぴかぴかの（略さん、DrKさん、辻。さん、数楽者さん、なかさん、始 受験勉強君さん、つよしさん、AMさん、小西孝一さん、ゴンともさん、M.Hossieさん、でんきやさん、きょろ文さん、姉小路さん、他
４桁までの整数をN＝ABCDとして考えてみます。
D＝１、３のとき ・・・ Nは、２の倍数でも５の倍数でもない
D＝２、４、６のとき ・・・ Nは、２の倍数
D＝５のとき ・・・ Nは、５の倍数
従って、D＝１、３が３の倍数でないものを数えれば良いことになります。
Nが、１桁のとき ・・・ D＝１は適し、D＝３は３の倍数だから不適
→ １個
Nが、２桁以上のとき ・・・ A、Bを固定して考えます。
３の倍数かどうかは、各桁の数字合計が３の倍数かどうかで判断できます。
さて、、C＝１から６の連続した整数となりますので、
ABCを３で割った余りは、０、１、２が均等に、それぞれ２個ずつになります。ABCを３で割った余りと、D＝１、３との組み合わせで、Nを３で割った余りは、下表のようになります。
従って、８個ずつあることが分かります。
２桁の整数は、A＝０、B＝０ ・・・ １通り×８＝８個
３桁の整数は、A＝０、B＝１から６ ・・・ ６通り×８＝４８個
４桁の整数は、A＝１から６、B＝１から６ ・・・ ６×６通り×８＝２８８個従って、４桁までの整数では、
１＋８＋４８＋２８８＝３４５個
となります。よって、 求める整数は、４桁の整数で最も大きい整数となります。
６６６３は、３の倍数なので、６６６１が３４５番目の整数と分かります。
答： ６６６１
以上
解答例２
uchinyanさん、他
１桁の整数では１の１個、２桁から４桁の整数N＝ABCDで数えましょう。
２でも３でも５でも割りきれない整数（の個数）
＝全体−（２の倍数＋３の倍数＋５の倍数）＋（６の倍数＋１０の倍数＋１５の倍数）−３０の倍数
と数えることができます。AとBを固定して、C＝１から６、D＝１から６の、６×６＝３６個で考えましょう。
２の倍数 ・・・ D＝２、４、６、Cは任意、３×６＝１８個
３の倍数 ・・・ Cを固定すると、D＝１から６までの連続整数だから２個×６＝１２個
５の倍数 ・・・ D＝５、Cは任意、１×６＝６個
６の倍数 ・・・ Cを固定すると、D＝１から６までの連続整数だから１個×６＝６個
１０の倍数 ・・・ D＞０なので、１０の倍数はない
１５の倍数 ・・・ １５の倍数は、D＝５で、かつ３の倍数。
C＝１から６まで変わるとき、３で割った余りは均等にでてくるので、３の倍数は２個３０の倍数 ・・・ D＞０なので、３０の倍数はない
従って、
３６−（１８＋１２＋６）＋（６＋０＋２）−０＝８個
ずつあることが分かります。以下、同様。
（その他の解法）
プログラムで数える ・・・ tomhさん、ハラギャーテイさん、kasamaさん、他