第４１２問の解答

問題［平面図形］

問題図 左図のような、高さが６cmである正三角形ＡＢＣがあります。

この三角形の内部（辺上は含みません）に点Ｐをとって、点Ｐから各辺に下ろした垂線の長さ（単位はcm）はすべて整数となりました。

では、このような点Ｐは△ＡＢＣの内部に何カ所あるでしょうか。

解答例１

トトロ＠Ｎさん、長野　美光さん、あ〜く＠ぴかぴかの（略さん、DrKさん、uchinyanさん、P・Kマニアさん、n厨さん、小西孝一さん、スモークマンさん、M.Hossieさん、しゅさん、他

正三角形ABCの１辺の長さをａとします。

参考図１

題意を満たす点Ｐに対して、（図１）
△ＡＢＣ＝△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ＋△ＰＡＢより、
　１/２×ａ×６＝１/２×ａ×ア＋１/２×ａ×イ＋１/２×ａ×ウ

よって、
　ア＋イ＋ウ＝６　・・・　（１）
となります。（ただし、点Ｐは辺上にはないことから、ア、イ、ウ＞０）

逆に、（１）が成り立つようなア、イ、ウ＞０となる整数に対して、 （図２）
辺ＢＣと平行でＢＣとの距離がアとなる直線と 、辺ＣＡと平行でＣＡとの距離がイとなる直線の交点をＰとし、Ｐから各辺に下ろした垂線の足をＤ、Ｅ、Ｆとします。

このとき、ＰＤ＝ア、ＰＥ＝イとなっています。
さて、ＰＦ＝ウ’とすると、先ほどと同様にして、
　ア＋イ＋ウ’＝６　・・・　（２）

よって、ウ＝ウ’となり、点Ｐは題意を満たすことが分かります。

以上から、題意を満たす点Ｐの個数は、（１）を満たす正の整数ア、イ、ウの組み合わせの個数と一致することになります。

さてこれらは、
　ア＝１のとき、（イ、ウ）＝（１、４）、（２、３）、（３、１）、（４、１）　・・・　４個
　ア＝２のとき、（イ、ウ）＝（１、３）、（２、２）、（３、１）　・・・　３個
　ア＝３のとき、（イ、ウ）＝（１、２）、（２、１）　・・・　２個
　ア＝４のとき、（イ、ウ）＝（１、１）　・・・　１個

よって、
　合計＝４＋３＋２＋１＝１０個
と求まります。

答：　 １０カ所

以上

解答例２

辻。さん、みかんさん、CRYING DOLPHINさん、tomhさん、トトロ＠Ｎさん、なかさん、kasamaさん、きょろ文さん、カケルさん、他

参考図２

点Ｐは上図のように各辺と平行で距離が１〜５cmの直線の交点となることから、
正三角形ＡＢＣの６×６＝３６等分した小さな正三角形の頂点になります。

これらで、正三角形ＡＢＣの内部にあるものは（辺上を除く）、
　１＋２＋３＋４＝１０個
あることが分かります。