第４１３問の解答

問題［平面図形］

左図は、正六角形を３つの菱形で分割したところを表しています。

同じようにして、正１６角形を菱形で分割することにします。菱形の個数が最も少なくなるようにするとき、その個数を求めてください。

ただし、菱形の一辺の長さはすべて正１６角形の一辺の長さと等しいものとします

解答例１

姉小路さん、uchinyanさん、拓パパさん、takaisaさん、まるケンさん、あ～く＠ぴかぴかの（略さん、なかさん、ゴンともさん、ミミズクはくず耳さん、始受験勉強君さん、うのたかはるさん、他

正２ｎ角形(２≦ｎ≦５）のときの個数をF_nとして考えてみます。

正４角形（ｎ＝２）のとき　・・・　１個
　

正６角形（ｎ＝３）のとき　・・・　３個（＋２）
　

正８角形（ｎ＝４）のとき　・・・　６個（＋３）
　

正１０角形（ｎ＝５）のとき　・・・　１０個（＋４）

と、増分が１ずつ増えていきます。

よって、F_n－F_n-1＝nとなることから、
一般式は、F_n＝Σ_(k=1..n-1)k＝n(n-1)/2
とくに本問ではF₈＝８×７/２＝２８個と予想されます

実際、下記例では正１６角形を菱形２８個で分割できています。

なお、この解法では２８個が最も少ない個数であることは示されていません。

答：　２８個

以上

解答例２

なかさん、uchinyanさん、算太郎さん他

正１６角形の辺をP₁、P₂、・・・、P₈およびQ₁、Q₂、・・・、Q₈と名前をつけます。
すると、 P₁とQ₁、P₂とQ₂、・・・、P₈とQ₈は、それぞれ向かい合っており平行です。

今、正１６角形がN個の菱形で分割できたと仮定し、N＝２８を示してみましょう。
（解答例１から、少なくとも１通りは分割する方法があることが分かります。）

そこで、P₁、P₂、・・・、P₈の中から任意の辺P_iを選びます。
すると、P_iをちょうど辺とするような菱形が存在するはずです。
また、この菱形でP_iの対辺を辺とするような菱形が存在、・・・・、というように、
次々と帯状につながる菱形の連鎖C_iを考えると、これらの最後は正１６角形のある辺と一致しますが、
これらの菱形の対辺が全て平行であることから、最後の辺はQ_iに一致するはずです。

今度は、辺P_k（ただし、i≠ｋ）について同様な連鎖C_ｋを考えると、
連鎖C_iと連鎖C_ｋはどこかで交差するはずです。
そして、交差した個所の菱形は、辺P_iに平行な２辺と、辺P_kに平行な２辺からできています。
（上図の例では、i=4、k=7）

以上のようにして、P₁、P₂、・・・、P₈の中から任意の異なる２辺P_iとP_kに対し、
分割した菱形のうちのある１個を対応させることができます。

逆に分割した菱形のうちの任意の１個を選び、２組の対辺に対してそれぞれ外側につながる菱形の連鎖を考えると、最後は正１６面体の辺で、元の菱形の対辺に平行な２組の辺に到達します。
また、この２組の辺の一方はP₁、P₂、・・・、P₈の中の異なる２辺P_iとP_kに一致するはずです。

さらに、P_iとP_kの組み合わせが異なると、対辺の一方は平行でないことから対応する菱形は異なります。

従って、分割した菱形の個数は、８個の辺P₁、P₂、・・・、P₈の中から２組の辺を選ぶ選び方、すなわち₈C₂＝２８となることが分かります。

　

なお、同様にして一般に正2n角形のときは、菱形の個数は_nC₂＝n(n-1)/2となることが分かります。


	正１６角形の辺をP₁、P₂、・・・、P₈およびQ₁、Q₂、・・・、Q₈と名前をつけます。すると、 P₁とQ₁、P₂とQ₂、・・・、P₈とQ₈は、それぞれ向かい合っており平行です。今、正１６角形がN個の菱形で分割できたと仮定し、N＝２８を示してみましょう。（解答例１から、少なくとも１通りは分割する方法があることが分かります。）そこで、P₁、P₂、・・・、P₈の中から任意の辺P_iを選びます。すると、P_iをちょうど辺とするような菱形が存在するはずです。また、この菱形でP_iの対辺を辺とするような菱形が存在、・・・・、というように、次々と帯状につながる菱形の連鎖C_iを考えると、これらの最後は正１６角形のある辺と一致しますが、これらの菱形の対辺が全て平行であることから、最後の辺はQ_iに一致するはずです。今度は、辺P_k（ただし、i≠ｋ）について同様な連鎖C_ｋを考えると、連鎖C_iと連鎖C_ｋはどこかで交差するはずです。そして、交差した個所の菱形は、辺P_iに平行な２辺と、辺P_kに平行な２辺からできています。（上図の例では、i=4、k=7）以上のようにして、P₁、P₂、・・・、P₈の中から任意の異なる２辺P_iとP_kに対し、分割した菱形のうちのある１個を対応させることができます。逆に分割した菱形のうちの任意の１個を選び、２組の対辺に対してそれぞれ外側につながる菱形の連鎖を考えると、最後は正１６面体の辺で、元の菱形の対辺に平行な２組の辺に到達します。また、この２組の辺の一方はP₁、P₂、・・・、P₈の中の異なる２辺P_iとP_kに一致するはずです。さらに、P_iとP_kの組み合わせが異なると、対辺の一方は平行でないことから対応する菱形は異なります。従って、分割した菱形の個数は、８個の辺P₁、P₂、・・・、P₈の中から２組の辺を選ぶ選び方、すなわち₈C₂＝２８となることが分かります。　なお、同様にして一般に正2n角形のときは、菱形の個数は_nC₂＝n(n-1)/2となることが分かります。