第４２１問の解答
問題［空間図形］
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左図のような一辺の長さが１２cmの立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨがあります。点Ｐは立方体の内部にある点で、 いま、点Ｐと立方体の各面について対称な点をとります。（全部で６つできますね） これらの６つの点を結んでできる立体と、もとの立方体の重なった部分の体積を求めてください。 |
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解答例１
Taroさん、姉小路さん、tomhさん、DrKさん、なかさん、n厨＠眠さん、小西孝一さん、頑張れ松井＆ヤンキースさん、きょろ文さん、uchinyanさん、他
点Ｐと立方体（１辺の長さをaとします。a＝12cm）の各面について対称な点を、I、J、K、L、M、Nとします。 （図１）
IPの中点をS、KPの中点をTとすると、題意より、
Sは上面ABCD上に、Tは側面AEFB上にあることが分かります。そこで、IKの中点をA'とすると、△IKPに関して、中点連結定理より、
A'SはKPと平行、A'TはIPと平行となります。従って、A'は上面ABCD上かつ側面AEFB上にあることになるので、
実は辺AB上にあることが分かります。同様にして、IL、IM、INの中点をB'、C'、D'、およびJK、JL、JM、JNの中点をE'、F'、G'、H’とすると、
B'、C'、D'は、それぞれ辺BC、CD、DA上に、E'、F'、G'、H’は、辺EF、FG、GH、HE上にあることが分かります。よって、I、J、K、L、M、Nを結んでできる立体は八面体になりますが、
それぞれの面が元の立方体の８隅を切断し、８個の三角錐を切り落とすことになります。上４個の三角錐の底面と、下４個の三角錐の底面は、それぞれ合同となります。
これらの面積をS1、S2、S3、S4とすると、
S1＋S2＋S3＋S4＝正方形ABCD×１/２＝a2×１/２
となります。また、三角錐の高さは、上４個、下４個でそれぞれ等しく、これらをh1、h2とすると、
h1＋h2＝AE＝a
となります。よって、
８個の三角錐体積合計
＝１/３×（S1＋S2＋S3＋S4）×h1＋１/３×（S1＋S2＋S3＋S4）×h2
＝１/３×（S1＋S2＋S3＋S4）×（h1＋h2）
＝１/３×a2×１/２×a
＝１/６×a3従って、
求める体積
＝a3−１/６×a3
＝５/６×a3
＝５/６×１２3
＝１４４０cm3
と求まります。答： １４４０cm3
以上
解答例２
アヒーのおじさんさん、みかんさん、 他
解答例１と逆に八面体からはみ出た６個の四角錐の体積を除いて求めます。（図は解答例１を参照）
八面体を上下２つの四角錐に分割すると、共通する底面積はa2×２で、高さの和はa×２、
よって、体積＝１/３×（２×a2）×（２×a）＝４/３×a3また、６個の四角錐の底面積は、いずれもa2×１/２で、向かい合う四角錐の高さの和はaとなるので、
体積合計＝（１/３×a2×１/２×a）×３＝１/２×a3＝５/６×a3
となり、以下同様。
（その他の解法）
CADで作図して体積を計算 ・・・ kasamaさん、 他
数式処理ソフトを使って計算 ・・・ ゴンともさん 他