第４２２問の解答
問題［場合の数］
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１から１０までの数の書かれたカードが１枚ずつ、合計１０枚あります。 このような取り出し方全てについて、３枚のカードに書かれた数の積（３つの数をかけ算したもの）を求め、紙にメモしていきま では、紙にメモされた数の合計はいくつでしょうか。 |
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解答例１
はなうさん、uchinyanさん、他
１枚目のカード：自由に選べる ・・・ １０通り、合計５５
２枚目のカード：１枚目および１枚目との和が１１になるカード以外 ・・・ ８通り、合計＝５５−１１＝４４
３枚目のカード：１枚目および１枚目との和が１１になるカード、２枚目および２枚目との和が１１になる カード
・・・ ６通り、合計＝５５−１１−１１＝３３そこで、これらの積の合計を下図のようにして数えてみます。
最初のカードと２枚目のカードを選んだとき、３枚目のカードの和は、常に５５−１１×２＝３３。
よって、積和は、最初のカードと２枚目のカードの積の和に３３を掛けたものに等しい。また、１枚目のカードを選んだとき、２枚目のカードの和は、常に５５−１１＝４４、
従って、積和は、１枚目のカードの和（５５）に４４と３３を掛けたものに等しい。ただし、これらの和は、カードを選ぶ順番を変えたときの６通りを重複して数えているので、
求める積和は、５５×４４×３３÷６＝１３３１０と求まります。
答： １３３１０
以上
（参考）式で積和を表したとき（重複分を含む）
解答例２
LAR-menさん、ごんごんまさん、アヒーのおじさんさん、ぽんさん、水田Xさん、ほげさん、他
１０枚のカードを、和が１１となる２枚ずつの５グループに分けて考えると、
「３枚のうちどの２枚を選んでも、その合計は１１にならない」ような３枚を取り出す
ということは、
５グループから３グループを選び、それらからカードを１枚ずつ取り出す
ことと同等であることが分かります。まず、５グループから３グループを選ぶ方法は、5C3＝５!/（３!２!）＝１０通りあります。
次に選んだ３グループのそれぞれからカードを１枚ずつ選ぶ方法は、（2C1）2＝８通りあり、
それらの積の和は、各グループのカードの和（いずれも１１）の積に等しくなります。従って、
積の合計＝１１3×１０＝１３３１０通り
と求まります。
（その他の解法）
全てのケースから題意を満たさない場合の積和を除いて求める ・・・ omegaさん、あ〜く＠ぴかぴかの（略さん、CRYING DOLPHINさん、姉小路さん、uchinyanさん、他
プログラムで計算 ・・・ tomhさん、トトロ＠Ｎさん、Taroさん、オモシロ※※館館長「影」さん、ハラギャーテイさん、kasamaさん、小西孝一さん、ねるとんさん、なかさん、他
全て書き出して計算 ・・・ uchinyanさん 、みかんさん 、ゴンともさん 、N.Nishiさん 、M.Hossieさん 、Hollyさん 、大岡 敏幸さん 、 他