第424問の解答


問題[平面図形、規則性]

問題図

上図のような、一辺の長さcmである正5角形があります。
この正5角形各辺を延長すると、図のような星形ができ、その一辺の長さcmとします。1回目の作業)
次に、星形鋭角頂点を結ぶと、正5角形ができます。2回目の作業)

以下3回目以降の作業を繰り返すと、この図形は、
  正5角形星形正5角形星形→・・・
と変化します。

このとき、10回目の作業後にできる正5角形一辺の長さを 
 A
×× cm
と表すとき、に当てはまる整数を答えてください。


解答例1

トトロ@Nさん、あ〜く@ぴかぴかの(略さん、uchinyanさん、始 受験勉強君さん、アヒーのおじさんさん、mhayashiさん、圭太さん、M.Hossieさん、小学名探偵さん、DrKさん、3秒の世界さん、emikoさん、はなうさん、N.Nishiさん、他

n回目の作業後にできる図形正五角形または星形1辺の長さdnとし、
dnpn×aqn×bとします(ただし、aアの長さbイの長さ

まず、d0ad1bより、
  d0p0×aq0×ba → (p0q0)=(1、0)
  d1p1×aq1×bb → (p1q1)=(0、1)  ・・・ (1)
となります。

参考図1

次に、n≧2について、dnの漸化式を求めてみましょう。

n偶数のとき:
△CAB△DBCは、いずれも底角72度二等点三角形となり相似
また、△ACD底角36度二等辺三角形

従って、
 DB=DCdnADACBC=dn-1ABdn-2
よって、
 dndn-1dn-2
が成り立ちます。

n奇数のとき:
△ADC△FDCは、いずれも底角72度二等点三角形で、底辺DCが共通なので合同
また、△FGB底角72度二等辺三角形

従って、
 FC=ECdnFBFG=dn-1BCdn-2
よって、
 dndn-1dn-2
が成り立ちます。

以上から、n偶数のときも、奇数のときも、
 dndn-1dn-2 ・・・ (2)
が成り立つことが分かります。

(2)より、
 dn=(pn-1×aqn-1×b)+(pn-2×aqn-×b
  =(pn-1pn-2)×a+(qn-1qn-2)×b

よって、
 pnpn-1pn-2qnqn-1qn-2 ・・・ (3)
が成り立ちます。(フィボナッチ数列)

従って、 (1)、(3)より、順次計算していくと、

参考図1−2

となり、
 Ap1034
 Bq1055
と求まります。

答:  A=34、B=55

以上

 


解答例2

tomhさん、ゴンともさん、kasamaさん、姉小路さん、スモークマンさん、他

参考図2


解答例1と同様に、△CAB△DBCが相似より、
 DC/BCBC/AB
よって、
 d1/d0d2/d1
が成り立ちます。

同様にして、 
 d2/d1d3/d2=・・・
となることが分かります。

この値をとすると、
 dntn×a ・・・ (1)
となります。(d0a

三角関数を用いると、
 =1/(2cos72°)=1/(2×(√5−1)/4))=(√5+1)/2
を得ます。

これは、(1)および解答例1の(2)より、
 t2×at×aa
従って、
 t2−t
−1=0  
を解いても得ることができます。 

(1)より、
 d10tn×a
  
={(√5+1)/2}10×a
  
={(123+55√5)/2}×a
  =34×a+55×(√5+1)/2×a
  =
34×a+55×b
となります。 d1t×a=b

従って、A34B55と求まります。


(その他の解法)