第４２８問の解答

問題［推理 （パズル）］

問題図

左図は、一辺の長さが１cmの正方形を５つ組み合わせて作った部品を表しています。

この部品を隙間も重なりもなく組み合わせて長方形を作ることにします。

できる長方形のうち、もっとも部品の数が少なくてすむものは、縦の長さと横の長さの合計が何cmのものでしょうか。

解答例１

圭太さん、トトロ＠Ｎさん、辻。さん、CRYING DOLPHINさん、アヒーのおじさんさん、おかひで博士さん、姉小路さん、takaisaさん、はなうさん、経友会の進作さん、uchinyanさん、aobさん、M.Hossieさん、なかさん、みかんさん、エルクさん、水田ｘさん、ハラギャーテイさん、スモークマンさん、N.Nishiさん、takuさん、他

試行錯誤で下記のような５cm×１０cmの長方形を得ますが、これらが最小だと いうことも示してみましょう。（なお、正方形２個合わせたものをドミノといいますが、この部品のように５個合わせたものはペントミノというようです。）

参考図１

縦m(cm)×横n(cm)の長方形がN個の部品でできているとします。
正方形の個数を数えると、
　N＝m×n
となるので、m、nのどちらか一方は５の倍数になります。

最小の長方形を探すのだから、m＝５と仮定して、５×nの長方形を考えてみましょう。
以下では、部品の置き方として、回転および裏返ししたものを下記のように呼ぶことにします。

参考図２

１個の部品にある正方形の数を１方向に見ると、１、２、４個になっています。
ただし、２個の場合は、その両側に１個と２個の正方形があることから、長方形の周囲には配置できません。　
従って、長方形の周囲には、正方形を１個か４個の組合せで配置することになります。・・・　（１）

また、長方形の周囲には、１個の正方形を３個以上連続するように配置することはできません。　・・・　（２）

参考図３

（１）、（２）より長方形の左辺（１列目）には、Ｙ1a型かＹ2b型の部品を配置する必要があります。
長方形の縦は正方形５個ですので、あと１個配置しなければなりませんが、対称性から下側に置く場合に絞ることにしましょう。

参考図４

下側（５行目）には、X2a型かX2b型のどちらかでないと置けないことが分かります。
ところが、X2b型の場合、上側がY1a型でもY2b型でも４行目で２列目の個所に隙間が出来るので不適。
よって、下側に配置できるのはX2a型のみになります。

同様に１行目の２列目より右側には、X1a型かX1b型しか配置できません。
どちらの場合も、３行目の２列目より右に配置できるのはX型(横長)しかなく、
従って、下記の（ア）、（イ）、（ウ）の３通りに限定されることが分かります。

参考図５

以上のことから、５×５以下の配置はできないことが分かります。
また、６列目に突起があることから５×６もダメです。

同様に、右辺から考えてくると３行目はいずれも５列必要になってくるので、５×１０が最小になります。
また、組み合わせは５×５の正方形からはみ出た部分と空いている部分に注目すると、下記の４通りしか無いことが分かります。

参考図１−１

最後に、縦が１０行のとき、４列以下にすることは出来ないことを示しましょう。
（１）、（２）より、左辺（１列目）には、Ｙ1a型かＹ2b型の部品が必ず２個必要になります。
従って、１列目にはあと２個の正方形が必要となります。

参考図６

１行目に正方形１個を置くには、先ほどと同様にX1b型のみしかないことが分かります。
このとき、横４列で納めるには右辺（４列目）の２行目より下には、Ｙ1b型かＹ2a型の いづれかとなり、
２行目の２列目か３列目に隙間が出来るので５列以上になります。

また、１列目にまずY1a型（Y1b型ではダメ）をおくと、１行目の２列目より右にはX1a型を配置するようになり、この場合も５列以上となります。

よって、１０×４以下の配置はできないことが分かります。

答： １５cm

以上

（参考）１０×１０の配置例（なかさんによる）....５×１０を２つ合わせたものは除く

参考図７

　仮説：外周上は４ 、１、４、１と交互に現われ一周する。
この仮説が正しいなら、５×１０が最小であることは簡単に言えそうです が、これを証明するのは難しいようです。

（その他の解法）