第４２９問の解答

問題［平面図形］

問題図

左図のような、ＢＣ＝１０cm、∠ＢＣＭ＝１５度、∠ＭＢＣ＝１１０度の△ＭＢＣがあります。

いま、辺ＢＭの延長上に、ＡＭ＝ＢＭとなるような点Ａをとります。また、辺ＭＣ上に点Ｄをとったところ、ＡＤ＝１０cmとなりました。

このとき、この図形全体の面積（四角形ＡＢＣＤの面積）を求めてください。

解答例１

mhayashiさん、みかんさん、uchinyanさん、トトロ＠Ｎさん、アヒーのおじさんさん、CRYING DOLPHINさん、M.Hossieさん、N.Nishiさん、大岡　敏幸さん、他

点Mを中心にして△AMDを１８０°回転し、△A'MD'とします。

参考図１

AM＝MBより、点A'は点Bと一致します。
また、∠D'MB＋∠BMC＝∠DMA＋∠BMC＝１８０°、
従って、D'、M、Cは一直線上に並びます。

BD'＝AD＝BC＝１０cmより、△MD'Cは二等辺三角形となります。

四角形ＡＢＣＤ＝△AMD＋△MBC＝△BMD'＋△MBC＝△BD'Cとなります。

D'からCBの延長に下ろした垂線の足をHとすると、
　∠D'BH＝∠BD'C＋∠BCD'＝１５×２＝３０°。
よって、
　Ｄ'Ｈ＝Ｄ'Ｂ×１/２＝１０×１/２＝５cm。

従って、
　△BD'C＝１/２×BC×D'H＝１/２×１０×５＝２５cm2
と求まります。

答： ２５cm2

以上

解答例２

あ〜く＠ぴかぴかの（略さん、kazsyunさん、他

辺MCを軸に△MBCを折りかえしたものを△MB'Cとし 、B'を通りAMと平行に引いた直線とMCの交点をNとします。

参考図２

△B'NCと△BNCは合同、
　B'C＝BC＝１０cm、B'N＝BN、∠B'MC＝∠BMC、∠B'CM＝∠BCM＝１５°・・・　（１）
となります。
実は、△B'NCと△AMDが合同になることを証明していきましょう。

MB'＝MB＝MAより、△MAB'は二等辺三角形、
よって、∠MAB'＝∠MB'A。

ところが、∠B'MBは△MAB'の外角なので、
　∠B'MB＝∠MAB'＋∠MB'A
よって、
　∠MAB'＝∠MB'A＝∠B'MC＝∠BMC（＝５５°）
と分かります。

従って、∠MAB'＝∠BMCより、辺ABとMCは平行となり、
　四角形AMNB'は平行四辺形となります。
よって、
　B'N＝AM　・・・　（２）
が示されます。

（１）、（２）より、△Ｂ'ＮＣと△ＡＭＣは、
　B'C＝BC、B'N＝AM、および∠B'ＮC＝∠ＡMC（平行線の同位角）となり、
∠二辺と一角（鈍角）が等しいので合同となります。

よって、
　四角形ＡＢＣＤ＝△AMD＋△MBC＝△B'ＮC＋△MBCとなります。

ところが、四角形Ｂ'ＭＢＮは四辺が等しいので菱形、
Ｐを菱形の中心とすると、△ＭＢＰと△Ｂ'ＮＰは合同な直角三角形となります。

従って、
　四角形ＡＢＣＤ＝△ＣＢ'Ｂ
となります。

点Ｂ'から辺ＢＣに下ろした垂線の足をＨとすると、∠Ｂ'ＣＢ＝１５×２＝３０°より、
　Ｂ'Ｈ＝Ｂ'Ｃ×１/２＝１０×１/２＝５cm

よって、
　四角形ＡＢＣＤ＝△ＣＢ'Ｂ＝１/２×ＢＣ×Ｂ'Ｈ＝１/２×１０×５＝２５cm2
と求まります。

解答例３

uchinyanさん、他

△ＡＭＣを回転移動し、点DがＢに、点ＭがＣと一致するようにしたものを△ＮＢＣとします。

参考図３−０

すると、∠ＢＭＣ＋∠ＢＮＣ＝∠ＢＭＣ＋∠ＡＭＣ＝１８０°より、
点Ｍ、Ｂ、Ｎ、Ｃは一つの円周上（円Ｏとします）にあることが分かります。

さて、辺ＢＮ＝ＡＭ＝辺ＭＢより、弧ＢＮ＝弧ＭＢとなります。
従って、∠ＢＮＣと∠ＭＣＢは、長さが等しい弧に対する円周角なので等しくなります。
すなわち、
　∠ＢＮＣ＝∠ＭＣＢ＝１５°
となります。

従って、辺ＢＣを軸に△ＮＢＣを折りかえしたものを△Ｎ'ＢＣとすると、
Ｎ'は辺ＭＣ上にくることが分かります。

このあとは、
　・△Ｎ'ＢＣを△ＭＢＣの左側に移動すると解答例１と、
　・辺Ｎ'Ｃを軸に折りかえすと解答例２と
同様にして面積を求めることが出来ます。

ここでは、uchinyanさんによる別解をご紹介しましょう。（この項、04.12.14追加）

θ＝∠MCB＝∠NCB＝15°、∠BMC＝αとおきます。
点Mを通りBCと平行に引いた直線へNから下ろした垂線の足をHとし、
また円の中心OからBCに下ろした垂線の足をH'とします。

参考図３

∠MOBは弧MBの中心角で、∠MCBは円周角だから、
　∠MOB＝∠MCB×２＝２θ
同様に、
　∠NOB＝∠NCB×２＝２θ

従って、
　∠ＭＯＮ＝∠ＭＯＢ＋∠ＮＯＢ＝４θ＝６０°
よって、ＯＭ＝ＯＮ（円の半径）より、△ＯＭＮは正三角形となります。
従って、ＭＮ＝ＯＢ＝ＯＣ（円の半径）となります。　・・・　（１）

次に、ＭＨとＢＣは平行だから、
　∠ＨＭＣ＝∠ＭＣＢ＝θ
そして、
　∠ＢＯＮ＝∠ＢＣＮ＝θ（弧ＢＮの円周角）

よって、
　∠ＮＭＨ＝∠ＢＭＣ−∠ＢＭＮ＋∠ＣＭＨ＝α−θ＋θ＝α
となります。

また、∠ＢOＣは弧ＢＣの中心角で、∠BMCは円周角だから、
　∠ＢOＣ＝∠BMC×２＝２α
そして、△OBCは二等辺三角形だから、
　H'はBCの中点で、OH'は∠BOCの二等分線
よって、
　∠BOH'＝∠BOC×１/２＝α　・・・　（２）
となります。

（１）、（２）より、△NMHと△BOH'は合同な直角三角形とわかります。
従って、
　NH＝BH'＝BC×１/２＝５cm

よって、
　四角形ＡＢＣＤ＝四角形MBNC＝１/２×BC×NH＝１/２×１０×５＝２５cm2
と求まります。

解答例４

tomhさん、K.N.I.F.E.さん、ハラギャーテイさん、他

三角関数を使って解いてみましょう。

参考図４

△AMDと△MBCについて、正弦定理より、
　AM/sin（∠ADM）＝AD/sin125°・・・　（１）
　MB/sin（∠MCB）＝BC/sin55°・・・　（２）

ところが、　
　AM＝MB、AD＝BC＝１０cm、sin125°＝sin（180°−55°)＝sin55°
だから、（１）、（２）より、
　sin（∠ADM）＝sin（∠MCB）　・・・　（３）
となります。

∠ADMと∠MCBは、いずれも鋭角なので、（３）より、
　∠ADM＝∠MCB＝１５°
を得ます。

また、（２）より、
　AM＝MB＝１０×sin15°/sin55°

従って、
　△ADD＝１/２×AD×AM×sin40°＝１/２×１０×１０×sin15°/sin55°×sin40°
　△MBC＝１/２×BC×MB×sin110°＝１/２×１０×１０×sin15°/sin55°×sin110°　
よって、
　四角形ＡＢＣＤ＝△ADD＋△MBC＝５０×sin15°/sin55°×（sin40°＋sin110°　）　・・・（４）
となります。

さて、三角関数の加法定理より、
　sin（α＋β）＝sinα cosβ＋cosα sinβ　・・・（５）
　sin（α−β）＝sinα cosβ−cosα sinβ　・・・（６）
（５）＋（６）より、
　sin（α＋β）＋sin（α−β）＝２sinα cosβ　・・・（７）
を得ます。

そこで、
　α＋β＝110°、α−β＝40°
を満たす
　α＝75°、β＝35°
を（７）に代入して、
　sin110°＋sin40°＝２×sin75°×cos35°＝２×cos15°×sin55°　・・・（８）

（４）、（８）より、
　四角形ＡＢＣＤ＝５０×sin15°/sin55°×２×cos15°×sin55°
　　＝５０×２×sin15°×cos15°
　　＝５０×sin30°＝５０×１/２　　＝２５cm2
と求まります。
　

（その他の解法）