第430問の解答


問題[ 空間図形]

問題図

左図のような、上面の直径4cmである円錐台があります。

この立体を正面から見ると、底面母線のなす角度が図のように60°になっています。

また、この立体を真上から見ると、同心円(中心が同じで半径が異なる円)2つ見えることになりますが、小さいほうのがぴったり収まるような正方形は、大きいほうのにぴったり収まるようになっています。

いま、この円錐台下面円周上にある点Aをとります。では、点Aからこの円錐台側面を通って周りを1周して点Aに帰ってくるような道のり最短距離を求めてください。


解答例1

姉小路さん、辻。さん、tomhさん、みかんさん、はなうさん、ゴンともさん、アヒーのおじさんさん、uchinyanさん、経友会の進作さん、M.Hossieさん、スモークマンさん、他

展開図で考えるといいので、まず円錐台母線長さを求めます。

参考図1

母線底面角度60°より、母線の長さ底面の直径Rと等しくなります。
従って、側面の展開図半径Rおよび4cm半円でできる帯状の図形になることが分かります。

参考図2

円錐であればAA'を結んだ直線最短になりますが、今回は円錐台なので直接結べません。
そこで、できるだけ内側半円に近づけると距離が短くなるので、
AおよびA'から内側半円に引いた接線、および接点間内側の半円を進む道が最短となります。

外側半円半径Rは、1辺4cmである正方形対角線の長さと等しいことから、
 接線の長さ4cm接点間角度90°
よって、
 最短距離=4+3.14×2×4×1/4+4=14.28cm
と求まります。

答: 14.28cm

以上