第430問の解答
問題[ 空間図形]
左図のような、上面の円の直径が4cmである円錐台があります。
この立体を正面から見ると、底面と母線のなす角度が図のように60°になっています。
また、この立体を真上から見ると、同心円(中心が同じで半径が異なる円)が2つ見えることになりますが、小さいほうの円がぴったり収まるような正方形は、大きいほうの円にぴったり収まるようになっています。
いま、この円錐台の下面の円の円周上にある点Aをとります。では、点Aからこの円錐台の側面を通って周りを1周して点Aに帰ってくるような道のりの最短距離を求めてください。
解答例1
姉小路さん、辻。さん、tomhさん、みかんさん、はなうさん、ゴンともさん、アヒーのおじさんさん、uchinyanさん、経友会の進作さん、M.Hossieさん、スモークマンさん、他
展開図で考えるといいので、まず円錐台の母線の長さを求めます。
母線と底面の角度が60°より、母線の長さは底面の直径Rと等しくなります。
従って、側面の展開図は半径がRおよび4cmの半円でできる帯状の図形になることが分かります。
円錐であればAとA'を結んだ直線が最短になりますが、今回は円錐台なので直接結べません。
そこで、できるだけ内側の半円に近づけると距離が短くなるので、
AおよびA'から内側の半円に引いた接線、および接点間は内側の半円の周を進む道が最短となります。外側の半円の半径Rは、1辺が4cmである正方形の対角線の長さと等しいことから、
接線の長さ=4cm、接点間の角度は90°、
よって、
最短距離=4+3.14×2×4×1/4+4=14.28cm
と求まります。答: 14.28cm
以上