第４３０問の解答

問題［ 空間図形］

問題図

左図のような、上面の円の直径が４cmである円錐台があります。

この立体を正面から見ると、底面と母線のなす角度が図のように６０°になっています。

また、この立体を真上から見ると、同心円（中心が同じで半径が異なる円）が２つ見えることになりますが、小さいほうの円がぴったり収まるような正方形は、大きいほうの円にぴったり収まるようになっています。

いま、この円錐台の下面の円の円周上にある点Ａをとります。では、点Ａからこの円錐台の側面を通って周りを１周して点Ａに帰ってくるような道のりの最短距離を求めてください。

解答例１

姉小路さん、辻。さん、tomhさん、みかんさん、はなうさん、ゴンともさん、アヒーのおじさんさん、uchinyanさん、経友会の進作さん、M.Hossieさん、スモークマンさん、他

展開図で考えるといいので、まず円錐台の母線の長さを求めます。

参考図１

母線と底面の角度が６０°より、母線の長さは底面の直径Rと等しくなります。
従って、側面の展開図は半径がRおよび４cmの半円でできる帯状の図形になることが分かります。

参考図２

円錐であればAとA'を結んだ直線が最短になりますが、今回は円錐台なので直接結べません。
そこで、できるだけ内側の半円に近づけると距離が短くなるので、
AおよびA'から内側の半円に引いた接線、および接点間は内側の半円の周を進む道が最短となります。

外側の半円の半径Rは、１辺が４cmである正方形の対角線の長さと等しいことから、
　接線の長さ＝４cm、接点間の角度は９０°、
よって、
　最短距離＝４＋３．１４×２×４×１/４＋４＝１４．２８cm
と求まります。

答： １４．２８cm

以上