第４３１問の解答

問題［ 確率（場合の数）］

１〜７の数の書かれたカードが１枚ずつ、合計７枚あります。
このカードを中の見えない袋の中に入れてよくかき混ぜ、１枚ずつ取り出して次のルールで捨てる、または箱に入れるを
決めます。

ルール：
　　取り出したカードが、それまでに取り出したカードの中で最大であれば箱の中に入れ、
　　そうでなければ捨てる。ただし、最初の１枚は箱に入れる。

このようにして７枚のカードすべてを袋から取り出したとき、捨てるカードが１枚だけであるような確からしさ（確率）を求めて 下さい。

解答例１

トトロ＠Ｎさん、みかんさん、N.Nishiさん、tomhさん、uchinyanさん、独和辞典さん、なかさん、M.Hossieさん、小学名探偵さん、姉小路さん、ばち丸さん、他

７のカードは一番大きいので捨てることはありません。
従って、捨てるカードとしては１〜６の場合が考えられますのでこれらを場合分けして数えてみましょう。

参考図１

  • １のカードを捨てる場合　・・・　１のカードの位置は、２の後〜７の後ろの６通り

  • ２のカードを捨てる場合　・・・　２のカードの位置は、３の後〜７の後ろの５通り
    　・・・

  • ６のカードを捨てる場合　・・・　６のカードの位置は７の後ろの１通り

従って、１枚カードを捨てる場合＝６＋５＋・・・＋１＝２１通りあります。
よって、７枚のカードの取り出し方全体＝７！＝７×６×・・・×１＝５０４０通りなので、
　１枚カードを捨てる確率＝２１/５０４０＝１/２４０
と求まります。

答： １/２４０

以上

解答例２

アヒーのおじさんさん、takaisaさん、uchinyanさん、他

「１枚のカードを捨てる場合」というのは、「７枚のカードから２枚選ぶ場合」と１対１で完全に対応づけることができます。

参考図２

従って、１枚カードを捨てる場合＝7Ｃ2＝２１通りあります。
よって、７枚のカードの取り出し方全体＝７！＝７×６×・・・×１＝５０４０通りなので、
　１枚カードを捨てる確率＝２１/５０４０＝１/２４０
と求まります。

解答例３

あ〜く＠ぴかぴかの（略さん、小学名探偵さん、他

カードがn枚のときに、１枚のカードを捨てる場合の数をF(n)として、漸化式を求めます。

参考図３

nのカードは一番大きいので、(n-２)番目以前に取り出すと、あとに残った２枚以上のカードを捨てることになり不適。従って、nのカードは最後か、最後の直前にに限られます。

  • nのカードが最後のとき　・・・　
    　捨てるカードは、(n-1)枚目までの中にくるので、F(n-1)通りとなります。
    　

  • nのカードが最後の直前のとき　・・・　
    　１〜(n-1)のカードが最後で、それより前のカードは小さい順に限られる、（n-1）通り
    　

よって、
　F(n)＝F(n-1)＋(n-1)
が成り立ちます。

従って、
　F(n)＝Σk=1..n-1｛F(k)−F(k-1)｝＋F(1)
　　　　＝Σk=1..n-1(k-1)＋0 (←F(1)=0)
　　　　＝1/2×(n-1)n
となります。

本問の場合、
　F(７)＝1/2×(7-1)×6＝２１通り
となります。

以下、同様。

（その他の解法）