第431問の解答
問題[ 確率(場合の数)]
1〜7の数の書かれたカードが1枚ずつ、合計7枚あります。
このカードを中の見えない袋の中に入れてよくかき混ぜ、1枚ずつ取り出して次のルールで捨てる、または箱に入れるを
決めます。ルール:
取り出したカードが、それまでに取り出したカードの中で最大であれば箱の中に入れ、
そうでなければ捨てる。ただし、最初の1枚は箱に入れる。このようにして7枚のカードすべてを袋から取り出したとき、捨てるカードが1枚だけであるような確からしさ(確率)を求めて 下さい。
解答例1
トトロ@Nさん、みかんさん、N.Nishiさん、tomhさん、uchinyanさん、独和辞典さん、なかさん、M.Hossieさん、小学名探偵さん、姉小路さん、ばち丸さん、他
7のカードは一番大きいので捨てることはありません。
従って、捨てるカードとしては1〜6の場合が考えられますのでこれらを場合分けして数えてみましょう。
1のカードを捨てる場合 ・・・ 1のカードの位置は、2の後〜7の後ろの6通り
2のカードを捨てる場合 ・・・ 2のカードの位置は、3の後〜7の後ろの5通り
・・・6のカードを捨てる場合 ・・・ 6のカードの位置は7の後ろの1通り
従って、1枚カードを捨てる場合=6+5+・・・+1=21通りあります。
よって、7枚のカードの取り出し方全体=7!=7×6×・・・×1=5040通りなので、
1枚カードを捨てる確率=21/5040=1/240
と求まります。答: 1/240
以上
解答例2
アヒーのおじさんさん、takaisaさん、uchinyanさん、他
「1枚のカードを捨てる場合」というのは、「7枚のカードから2枚選ぶ場合」と1対1で完全に対応づけることができます。
従って、1枚カードを捨てる場合=7C2=21通りあります。
よって、7枚のカードの取り出し方全体=7!=7×6×・・・×1=5040通りなので、
1枚カードを捨てる確率=21/5040=1/240
と求まります。
解答例3
あ〜く@ぴかぴかの(略さん、小学名探偵さん、他
カードがn枚のときに、1枚のカードを捨てる場合の数をF(n)として、漸化式を求めます。
nのカードは一番大きいので、(n-2)番目以前に取り出すと、あとに残った2枚以上のカードを捨てることになり不適。従って、nのカードは最後か、最後の直前にに限られます。
nのカードが最後のとき ・・・
捨てるカードは、(n-1)枚目までの中にくるので、F(n-1)通りとなります。
nのカードが最後の直前のとき ・・・
1〜(n-1)のカードが最後で、それより前のカードは小さい順に限られる、(n-1)通り
よって、
F(n)=F(n-1)+(n-1)
が成り立ちます。従って、
F(n)=Σk=1..n-1{F(k)−F(k-1)}+F(1)
=Σk=1..n-1(k-1)+0 (←F(1)=0)
=1/2×(n-1)n
となります。本問の場合、
F(7)=1/2×(7-1)×6=21通り
となります。以下、同様。
(その他の解法)
プログラムで求める ・・・ kasamaさん、 他