第４３５問の解答

問題［平面図形］

左図のような、面積が１００cm²の△ＡＢＣがあります。

いま、辺ＡＢ上に点Ｄを、辺ＢＣ上に点Ｅを、辺ＣＡ上に点Ｆを、
それぞれ、ＡＤ：ＤＢ＝ＢＥ：ＥＣ＝４：１、ＣＦ：ＦＡ＝３：２と
なるようにとります。
また、線分ＡＥ、ＢＦ、ＣＤの中点（真ん中の点）をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとします。

このとき、△ＰＱＲの面積を求めてください。

解答例１

JILINさん、uchinyanさん、y.kobayashiさん、あさみかずみさん、中畑参上さん、N.Nishiさん、他

△ＡＢＣを図１のように７つの三角形に分割して考えます。

このうち、１辺が△ＡＢＣと共通な３個については、面積が簡単に求まります。

△ＡＢＱ＝△ＡＢＦ×１/２＝△ＡＢＣ×２/５×１/２＝２０cm²

△BCR＝△BCD×１/２＝△ＡＢＣ×１/５×１/２＝１０cm²

△ＣＡＰ＝△ＣＡＥ×１/２＝△ＡＢＣ×１/５×１/２＝１０cm²

残りの３個は、メネラウスの定理を利用します。

△ＦＢＣと直線ＡＥに関してメネラウスの定理より、（図２－１）
　ＦＳ/ＳＢ・ＢＥ/ＥＣ・ＣＡ/ＡＦ＝１、ＦＳ/ＳＢ・４/１・５/２＝１、
ＦＱ＝ＱＢより、
　ＦＳ：ＳＢ＝１：１０、ＦＳ：ＳＱ：ＱＢ＝２：９：１１
従って、（図２－２）
　△ＡＱＰ＝△ＡＱＥ×１/２＝（△ＡＢＥ×９/２０）×１/２＝（△ＡＢＣ×４/５）×９/２０×１/２＝１８cm²

△ＡＢＥと直線ＤＣに関してメネラウスの定理より、（図３－１）
　ＡＢ/ＢＤ・ＢＣ/ＣＥ・ＣＦ/ＦＡ＝１、５/１・ＤＴ/ＴＣ・３/２＝１、
ＤＲ＝ＲＣより、
　ＤＴ：ＴＣ＝２：１５、ＤＴ：ＴＲ：ＲＣ＝４：１３：１７
従って、（図３－２）
　△ＢＲＱ＝△ＢＲＦ×１/２＝（△ＢＣＦ×１３/３０）×１/２＝（△ＡＢＣ×３/５）×１３/３０×１/２＝１３cm²

△ＡＤＣと直線ＦＢに関してメネラウスの定理より、（図４－１）
　ＡＤ/ＤＢ・ＢＣ/ＣＥ・ＥＵ/ＵＡ＝１、４/１・５/１・ＥＵ/ＵＡ＝１、
ＥＰ＝ＰＡより、
　ＥＵ：ＵＡ＝１：２０、ＥＵ：ＵＰ：ＰＡ＝２：１９：２１
従って、（図４－２）
　△ＣＰＲ＝△ＣＰＤ×１/２＝（△ＣＡＤ×１９/４０）×１/２＝（△ＡＢＣ×４/５）×１９/４０×１/２＝１９cm²
　

よって、
　ＰＱＲ＝１００－（２０＋１０＋１０）－（１８＋１３＋１９）＝１０cm²　
と求まります。

答： １０cm²

以上

解答例２

CRYING DOLPHINさん、エルクさん、uchinyanさん、他

辺ＡＢの中点をＧ、辺ＢＣの中点をＭ、辺ＣＡの中点をＮとします。

中点連結定理より、
　ＧＮはＢＣと平行で、ＧＮ＝ＢＣ×１/２
　ＭＧはＣＡと平行で、ＭＧ＝ＣＡ×１/２
　ＮＭはＡＢと平行で、ＮＭ＝ＡＢ×１/２
よって、
　△ＧＭＮ＝△ＡＢＣ×１/４＝２５cm²
　
また、
　ＧＮはＢＣと平行より、ＧＰ：ＰＮ＝ＢＥ：ＥＣ＝４：１
　ＭＧはＣＡと平行より、ＭＱ：ＱＧ＝ＣＮ：ＮＡ＝３：２
　ＮＭはＡＢと平行より、ＮＲ：ＲＭ＝ＡＧ：ＧＢ＝４：１

従って、
　△ＧＱＰ＝△ＧＭＮ×４/５×２/５＝８cm²△ＭＲＱ＝△ＧＭＮ×３/５×１/５＝３cm²△ＮＰＲ＝△ＧＭＮ×４/５×２/５＝４cm²

よって、
　△ＰＱＲ＝２５－（８＋３＋４）＝１０cm²　
と求まります。

（その他の解法）

座標で表して面積比等で求める　・・・　Taroさん、あ～く＠ジュークさん、ゴンともさん、他
　

直角三角形の場合に限定して求める　・・・　みかんさん、なかさん、tomhさん、アヒーのおじさんさん、M.Hossieさん、はんたろうさん、他
　

比率の行列式で計算する　・・・　tosん、他
　

ＣＡＤで作図して求める　・・・　kasamaさん、他
　

面積比を式で表して計算　・・・　小学名探偵さん、他
　


	辺ＡＢの中点をＧ、辺ＢＣの中点をＭ、辺ＣＡの中点をＮとします。中点連結定理より、　ＧＮはＢＣと平行で、ＧＮ＝ＢＣ×１/２　ＭＧはＣＡと平行で、ＭＧ＝ＣＡ×１/２　ＮＭはＡＢと平行で、ＮＭ＝ＡＢ×１/２よって、　△ＧＭＮ＝△ＡＢＣ×１/４＝２５cm² 　また、　ＧＮはＢＣと平行より、ＧＰ：ＰＮ＝ＢＥ：ＥＣ＝４：１　ＭＧはＣＡと平行より、ＭＱ：ＱＧ＝ＣＮ：ＮＡ＝３：２　ＮＭはＡＢと平行より、ＮＲ：ＲＭ＝ＡＧ：ＧＢ＝４：１従って、　△ＧＱＰ＝△ＧＭＮ×４/５×２/５＝８cm²△ＭＲＱ＝△ＧＭＮ×３/５×１/５＝３cm²△ＮＰＲ＝△ＧＭＮ×４/５×２/５＝４cm² よって、　△ＰＱＲ＝２５－（８＋３＋４）＝１０cm²　と求まります。