第４３６問の解答

問題［平面図形］

左図のような台形ＡＢＣＤがあります。

いま、点Ｄから辺ＢＣに垂線ＤＨを下ろしたところ、ＢＤ＝５cmとなりました。また、対角線ＢＤと対角線ＡＣは直角に交わっており、ＢＨの長さは４cmでした。

このとき、台形ＡＢＣＤの面積を求めてください。

解答例１

N.Nishiさん、M.Hossieさん、ゴンともさん、hiroさん、他

ACとBDの交点をPとします。

まず、DB＝５cm、BH＝４cmより、
△DBHは、辺の長さの比が３：４：５の直角三角形となります。

すると、ADとBCは平行より、∠ADP＝∠CDP（錯角）、
よって、△ADPと△CBPは、△DBHと相似な直角三角形となります。

従って、
　AD＋BC＝PD×５/４＋PB×５/４
＝（PD＋PB）×５/４＝５×５/４
＝２５/４cm

よって、
　台形ABCD＝１/２×（AD＋BC）×DH
＝１/２×２５/４×３＝７５/８cm²　
と求まります。

答： ７５/８cm²

以上

解答例２

CRYING DOLPHINさん、arijuneさん、uchinyanさん、アヒーのおじさんさん、DrKさん、ｎ厨さん、エルクさん、明大さん、他

辺BCの延長線上に点Eを、CE＝ADとなるように取ります。
（台形ABCDを１８０°回転し、DCで合わせる方法もこれに含めます）

すると、ADとCEは平行でAD＝CEより、
四角形ACEDは平行四辺形となります。

解答例１と同様にして、△ADPは、△DBHと相似な直角三角形となり、
∠ADP＝∠DBH、∠DAP＝∠BPHで、∠ADP＋∠DAP＝∠DBH＋∠BPH＝９０°

また、∠DECと∠DACは平行四辺形ACEDの相対する角だから等しい。
よって、∠DEB＋∠DBE＝∠ADP＋∠DAP＝９０°

従って、△EBDも△DBHと相似な直角三角形となります。
よって、
　BE＝BD×５/４＝５×５/４＝２５/４cm、
　DE＝BD×３/４＝５×３/４＝１５/４cm

従って、
　AD＋BC＝CE＋BC＝BE＝２５/４cm
以下、同様。

あるいは、AD＝CEより、△ADB＝△DCEとなり、
平行四辺形ABCD＝直角三角形EBD＝１/２×BD×DEとして求める方法もあります。

解答例３

あ～く＠ジュークさん、uchinyanさん、他

辺DAの延長線上に点Eを、AE＝CHとなるように取り、EHとDBの交点をQとします。

すると、△EHCAは平行四辺形となるので、EHとACは平行、
よって、∠BQH＝∠BPC＝９０°となります。

よって、∠QHB＝９０°－∠QBH＝∠BDH、
従って、∠EHD＝９０°－∠QHB＝９０°－∠BDH＝∠DBH。　・・・　（１）

ADとBCは平行だから、∠EDH＝∠DHB＝９０°、・・・　（２）
よって、△EHDは△DBHと相似な直角三角形となります。

従って、ED＝DH×３/４＝３×３/４＝９/４cm、
よって、AD＋BC＝AD＋（BH＋HC）＝BH＋（AD＋EA）＝４＋９/４＝２５/４cm

以下、同様。

解答例４

nobuさん、トトロ＠Ｎさん、kazsyunさん、uchinyanさん、他

解答例１と同様にして、△ADPと△CBPは、△DBHと相似な直角三角形

従って、
AC＝AP＋PC＝PD×３/４＋PB×３/４
＝（PD＋PB）×３/４＝３×５/４
＝１５/４cm

よって、
　台形ABCD＝△BAC＋△DAC
＝１/２×AC×PB＋１/２×AC×PD
＝１/２×AC×（PB＋PD）１/２×AC×BD
＝１/２×１５/４×５
＝７５/８cm²
と求まります。

（その他の解法）

特別な場合を想定して求める　・・・　姉小路さん、みかんさん、まるケンさん、きょろ文さん、なかさん、圭太さん、スモークマンさん、万打無さん、最近全然覗いてませんでしたさん、他
　

座標を用いて解く　・・・　UnderBirdさん、他
　

CADで描いて求める　・・・　kasamaさん、他
　


	辺BCの延長線上に点Eを、CE＝ADとなるように取ります。（台形ABCDを１８０°回転し、DCで合わせる方法もこれに含めます）すると、ADとCEは平行でAD＝CEより、四角形ACEDは平行四辺形となります。解答例１と同様にして、△ADPは、△DBHと相似な直角三角形となり、 ∠ADP＝∠DBH、∠DAP＝∠BPHで、∠ADP＋∠DAP＝∠DBH＋∠BPH＝９０° また、∠DECと∠DACは平行四辺形ACEDの相対する角だから等しい。よって、∠DEB＋∠DBE＝∠ADP＋∠DAP＝９０° 従って、△EBDも△DBHと相似な直角三角形となります。よって、　BE＝BD×５/４＝５×５/４＝２５/４cm、　DE＝BD×３/４＝５×３/４＝１５/４cm 従って、　AD＋BC＝CE＋BC＝BE＝２５/４cm 以下、同様。あるいは、AD＝CEより、△ADB＝△DCEとなり、平行四辺形ABCD＝直角三角形EBD＝１/２×BD×DEとして求める方法もあります。


	辺DAの延長線上に点Eを、AE＝CHとなるように取り、EHとDBの交点をQとします。すると、△EHCAは平行四辺形となるので、EHとACは平行、よって、∠BQH＝∠BPC＝９０°となります。よって、∠QHB＝９０°－∠QBH＝∠BDH、従って、∠EHD＝９０°－∠QHB＝９０°－∠BDH＝∠DBH。　・・・　（１） ADとBCは平行だから、∠EDH＝∠DHB＝９０°、・・・　（２）よって、△EHDは△DBHと相似な直角三角形となります。従って、ED＝DH×３/４＝３×３/４＝９/４cm、よって、AD＋BC＝AD＋（BH＋HC）＝BH＋（AD＋EA）＝４＋９/４＝２５/４cm 以下、同様。


	解答例１と同様にして、△ADPと△CBPは、△DBHと相似な直角三角形従って、 AC＝AP＋PC＝PD×３/４＋PB×３/４＝（PD＋PB）×３/４＝３×５/４＝１５/４cm よって、　台形ABCD＝△BAC＋△DAC ＝１/２×AC×PB＋１/２×AC×PD ＝１/２×AC×（PB＋PD）１/２×AC×BD ＝１/２×１５/４×５＝７５/８cm² と求まります。