第131問の解答


1.問題 [立体図形]

問題図

一辺が1cm小立方体27個を左図のように重ね、細長いまっすぐな針金を1本用意して、
この立体を串刺しにします。その際、できるだけ多くの小立方体針金が通るようにします。
そして、針金の刺さった小立方体だけを、形が崩れないようにそのまま取り出しました。

(1)取り出した立体体積何cm3ありますか?
(2)取り出した立体表面積何cm2ありますか?


2.解答例1(ヒデー王子さん、トトロ@Nさん、他)

まず2次元で考えます。立方体正方形となります。
正方形が2×2=4個の場合、下図のように1直線が通過するのは、最大3個正方形です。

参考図1

正方形が3×3=9個の場合は、下図のように最大5個正方形を通すことができます。

参考図2

図1〜図4をよくみると、いずれの場合も直線は、2本水平線垂直線を横切っていることがわかります。
そして、横切った点を含む2つの正方形共有しています。

すると、3次元の場合は、各面平行2つずつの平面最大2回ずつ横切ることとなるので、合計2+2+2=6回横切ります。

この横切った6点を含むを、2個ずつの小立方体共有していることになるので、結局小立方体の個数は6+1=7個になります。

(例)JavaAppletによる立体図
参考図3

従って、求める立体の体積は、1cm3×7=7cm3

表面積は、6cm2×7=42cm2から重なった面の部分1cm2×2×6=12cm2を除いた42−12=30cm2となります。


答:
(1)7cm3、(2)30cm2

以上