第140問の解答
1.問題 [平面図形]
2枚の合同な正方形を左図のように重ねたところ、左下には辺の長さが3cm、4cm、5cmの直角三角形ができ、2枚重ねになった部分の八角形は、周りの長さが74cmになりました。
このとき使用した正方形の1辺は何cmだったのでしょうか?
2.解答例1(わかさひ君すーぱーさん、長野美光さん、トトロ@Nさん、ありっちさん、杉本未来さん、有無相生さん、C-Dさん、大岡敏幸さん、萬田銀次郎さん、中村明海さん、あんみつさん、ハラギャーテイさん、航介さん、みのちゃん、TSSさん、うっしーさん、ハラギャーテイさん、BossFさん、Patchieさん、他多数)
正方形の長さをL、八角形の各辺の長さをa、b、c、d、e、f、g、hとします。
それぞれの直角三角形は全て相似だから、
L=a×3/5+b+c×4/5
L=b×3/5+c+d×4/5
L=c×3/5+d+e×4/5
L=d×3/5+e+f×4/5
L=e×3/5+f+g×4/5
L=f×3/5+g+h×4/5
L=g×3/5+h+a×4/5
L=h×3/5+a+b×4/5辺々加えて、
8L=(a+b+c+d+e+f+g+h)×(3/5+1+4/5)
L=74/8×(12/5)=111/5=22.2cm
答:22.2cm
以上
3.解答例2(mhayashiさん、他)
正方形の重なりかたにかかわらず、角度が変わらない限り、重なってできる八角形の周の長さは一定であることを示します。
実は、次のようにして、八角形の相対する二辺の長さの和が等しいことが分かります。
例えば、b、fについて考えると、h1+L+h2は常に一定、
よって、h1+h2も一定、直角三角形は相似だからb+fも一定。従って、八角形の周の長さは一定。
正方形の中心が一致するときを考えると、直角三角形は全て合同。
よって、斜辺の長さは、八角形の1辺の長さ=74/8cm。従って、正方形の一辺の長さ=74/8×(1+3/5+4/5)=111/5。