第１４０問の解答

１．問題　［平面図形］

問題図

　２枚の合同な正方形を左図のように重ねたところ、左下には辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直角三角形ができ、２枚重ねになった部分の八角形は、周りの長さが７４ｃｍになりました。

　このとき使用した正方形の１辺は何ｃｍだったのでしょうか？

　

２．解答例１(わかさひ君すーぱーさん、長野美光さん、トトロ＠Ｎさん、ありっちさん、杉本未来さん、有無相生さん、C-Dさん、大岡敏幸さん、萬田銀次郎さん、中村明海さん、あんみつさん、ハラギャーテイさん、航介さん、みのちゃん、TSSさん、うっしーさん、ハラギャーテイさん、BossFさん、Patchieさん、他多数)

正方形の長さをＬ、八角形の各辺の長さをa、b、c、d、e、f、g、hとします。

参考図1

それぞれの直角三角形は全て相似だから、
　Ｌ＝a×3/5＋b＋c×4/5
　Ｌ＝b×3/5＋c＋d×4/5
　Ｌ＝c×3/5＋d＋e×4/5
　Ｌ＝d×3/5＋e＋f×4/5
　Ｌ＝e×3/5＋f＋g×4/5
　Ｌ＝f×3/5＋g＋h×4/5
　Ｌ＝g×3/5＋h＋a×4/5
　Ｌ＝h×3/5＋a＋b×4/5

辺々加えて、
　８Ｌ＝（a+b+c+d+e+f+g+h）×（3/5＋1＋4/5）
　　Ｌ＝７４／８×（１２／５）＝１１１／５＝２２．２cm

答：２２．２cm

以上

３．解答例２(mhayashiさん、他)

正方形の重なりかたにかかわらず、角度が変わらない限り、重なってできる八角形の周の長さは一定であることを示します。

参考図2

実は、次のようにして、八角形の相対する二辺の長さの和が等しいことが分かります。

例えば、ｂ、ｆについて考えると、ｈ１＋Ｌ＋ｈ２は常に一定、
よって、ｈ１＋ｈ２も一定、直角三角形は相似だからｂ＋ｆも一定。

従って、八角形の周の長さは一定。

参考図3

正方形の中心が一致するときを考えると、直角三角形は全て合同。
よって、斜辺の長さは、八角形の１辺の長さ＝７４/8cm。

従って、正方形の一辺の長さ＝74/8×（1+3/5+4/5）=111/5。