第142問の解答
1.問題 [整数の性質]
日本に住んでいるTORAさんは、海外に住む妹のSAWAKOさんに、久しぶりに電話を掛けてみました。
TORA:「今そっちの時間で何時やねん?」
SAWAKO:「ちょうど●時だけど。」
TORA:「それやったら、こっちのちょうど3倍の数字やん。」それから何時間かして、今度はSAWAKOさんからTORAさんに電話が掛かってきました。
SAWAKO:「今そっちの時間で何時なの?」
TORA:「そっちの時間のちょうど3倍だよ。」さて、今の時間、TORAさんの住む日本では何時なのでしょうか?
(注)二人は、時刻を1時〜24時の整数の数字で言い表しています。
考えられる全ての数字を答えて下さい。
2.解答例1(ταροさん、ありっちさん、他多数)
最初の時点で、TORAさんの住む日本の時刻をtとすると、SAWAKOさんの住む国の時刻は、3tになります。
これから、d時間経過して今になったとすると、SAWAKOさんの国では、翌日になっているはずで、、
3(3t+d−24)=t+d
よって、
4t+d=36 ・・・ (1)(1)より、tは、1≦t≦24の整数なので、dは4の倍数となります。
題意より、0<d<24と考えられるので、
d=4、8、12、16、20
このとき、
t=8、7、6、5、4
および、
t+d=12、15、18、21、24
となります。答:12、15、18、21、24時
以上
3.解答例2(萬田銀次郎さん、トトロ@Nさん、数楽者さん、DrKさん、他)
最初の時点で、TORAさん、SAWAKOさんの住む国でのの時刻をt1、s1、次の時点では、t2、s2とします。
s1−t1=t1×3−t1=t1×2 ・・・ (2)
t2−s2=s1×3−s1=s1×2 ・・・ (3)
s2+24−t2=t1×2
t2−s2=24−t1×2 ・・・ (4)
(2)、(4)より、
(s1−t1)+(t2−s2)=24
TORAさんとSAWAKOさんの時間差(s1−t1)および(t2−s2)は、ともに2の倍数で和が24となります。(2)より、
t1=(s1−t1)/2
s1=t1×3≦24より、t1≦8、
よって、
s1−t1=t1×2≦16、8≦t2−s2。(3)より、
s2=(t2−s2)/2
t2=s2×3≦24より、s2≦8、
よって、
t2−s2=s2×2≦16、8≦s1−t1。以上から、8≦(s1−t1)、(t2−s2)≦16となり、次のように求まります。
よって、t2=12、15、18、21、24となります。