第１４３問の解答
１．問題 ［整数の性質］
ＴＯＲＡさんとイルカさんが一緒にお買い物に出かけました。
ＴＯＲＡさんは１個２１７円の品物Ａをa個と１個１９３円の品物Ｂをb個買って、２０００円札を３枚出したところ、おつりとして１０円玉がc枚と１円玉がｄ枚返ってきました。また、イルカさんが品物Ａをｂ個と品物Ｂをａ個買って、２０００円札を３枚出したところ、おつりは１０円玉がｄ枚と１円玉がｃ枚でした。
さて、ａ＞ｂのとき、ａ、ｂ、ｃ、ｄの数字を求めて下さい。
ただし、おつりとして１円玉が１０枚以上返ってくることはありません。
２．解答例１(杉本未来さん、わかさひ君すーぱーさん、有無相生さん、うっしーさん、mhayashiさん、ヒデー王子さん、あすとさん、BossFさん、香川仁志さん、他多数)
題意より、
217a＋193b＋10c＋d＝6000 ・・・ （１）
193a＋217b＋10d＋c＝6000 ・・・ （２）
が成り立つ。（１）−（２）より、
24a−24b＋ 9c−9d＝0
8 (a−b) ＝ 3 (d−c) ・・・ （３）１円玉は９枚以下なので、c、ｄ≦9、
よって、d-c≦9。
従って、（１）より、d-c=8、a-b=3となります。これから、b=a-3、d=c+8を得るので、（１）に代入すると、
410a＋11c＝6571＝410×16+11
410(a-16)＝-11(c-1) ・・・ （４）
-1≦c-1≦８より、-11≦11(c-1)≦88、
よって、（１）より、a=16、c=1を得る。
従って、b=16-3=13、d=1+8=9。答：a=16、b=13、c=1、d=9
以上
３．解答例２(トトロ＠Ｎさん、ταροさん、C-Dさん、ありっちさん、高橋道広さん、他)
解答例１の（１）＋（２）より、
410(a＋b)+11(c＋d)＝12000＝410×29＋11×10
410(a＋b−29)＝−11（c＋d−10） ・・・ （５）
0≦c、d≦9より、-10≦c＋d−10≦8、
よって、-80≦−11（c＋d−１0）≦88。
従って、（５）より、a＋b＝29、c＋d＝１0。
よって、b＝29−a、d＝10−cを得るので、（１）に代入すると、
24a＋9c＝393＝24×16＋9
24（a−16）＝−（c−1）
-1≦c-1≦８より、-11≦11(c-1)≦88、
よって、a＝16、c＝1、従って、b＝13、d＝9を得る。
４．解答例３(Patchieさん、他)
A、Ｂ同じ個数だけ買ったとすると、それぞれ１個で４１０円、
６０００＝４１０×１４＋２６０
となり、１４個ずつ買うことができる。しかしながら、解答例１同様にして、おつりは１００円未満なので、もう１個買ったことになる。
仮に、Ａをもう１個買うと、おつりは２６０−２１７＝４３円となる。Ａ：１５個、Ｂ：１４個：おつり４３円
ＡとＢを１個取り替えると、２１７−１９３＝２４円増減するので、おつりが１００円未満になるためには、
Ａ：１６個、Ｂ：１３個：おつり１９円
↑ Ａを１個増やす
Ａ：１５個、Ｂ：１４個：おつり４３円
↓ Ｂを１個増やす
Ａ：１４個、Ｂ：１５個：おつり６７円
↓ Ｂを１個増やす
Ａ：１３個、Ｂ：１６個：おつり９１円
の４通りの組み合わせしかないことになる。この中で題意を満たす組み合わせは、
Ａ：１６個、Ｂ：１３個：おつり１９円とＡ：１３個、Ｂ：１６個：おつり９１円
よって、a=16、b=13、c=1、d=9となります。