第149問の解答


1.問題 [平面図形]

問題図

三角形ABCAB上にAC上にを取り、2本の線PCQBを引きます。また、その交点をとします。

このとき、各部分の面積が、
 ・△PBO28cm2
 ・△OBC:16cm2
 ・△QCO:8cm2
となりました。

では、この三角形ABC全体の面積何cm2あるでしょう。

 


2.解答例1( ヒデー王子さん、長野美光さん、萬田銀次郎さん、うっしーさん、有無相生さん、ハラギャーテイさん、N.Nishiさん、他多数)

APO、△AOQとおきます。 

参考図1

PO:OC=△PBO:△OBC=7:4
よって、△APO:△AOC=a:b+8=7:4
従って、4a=7b+56 ・・・(1)

BO:OQ=△OBC:△QOC=2:1
よって、△ABO:△AOQ=a+28:b=2:1
従って、2b=a+28 ・・・(2)

(1)、(2)より、a=308、b=168
よって、
ABC=a+b+28+16+8=308+168+52=528cm2

算数的には(長野美光さんによる)、△AOCとおくと、 
AOP=

△OBC:△QOC=△ABO:△AOQ=2:1より、
OBC+△ABO:△QOC+△AOQ四角形ABCO:△AOC=2:1
よって、四角形ABCO=
従って、△PBC=四角形ABCO−△AOP=8−7=

△PBC=28+16=44cm2なので、
△ABC=44×(1+4+7)=44×12=528cm2

答:528cm2

以上


3.解答例2(高田修成さん、Miki Sugimotoさん、他多数)

AB/PB=p、AC/QC=qとおきます。

APCと直線BQについて、メネラウスの定理より、
 (AB/BP)・(PO/OC)・(CQ/QA)=1
 p・(7/4)・(1/q−1)=1
よって、7p=4q−4 ・・・(3)

ABQと直線PCについて、メネラウスの定理より、
 (AP/PB)・(BO/OQ)・(QC/CA)=1
 (p−1)・(2/1)・(1/q)=1
よって、2p−2=q ・・・(4)

(3)、(4)より、p=12、q=22を得る。
よって、△ABC=△PBC×p=44×12=528cm2

 


4.解答例3

AOの延長線とBCとの交点をとし、からAEに引いた直線とBCの交点をとする。

参考図2

FE:EC=PO:OC=7:4
BE:EC=BO:OQ=2:1=8:4
よって、BF=1。
従って、BP:PA=BF:FC=1:11

よって、△ABC=△PBC×12=44×12=528cm2


他の解法としては、

  • ベクトルを用いる:BossFさん

  • 座標を用いる:ταροさん

  • 重心と面積比による:LIONさん

  • CからABに垂線を引く:DrKさん

などがありました。