第１５１問の解答

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１．問題　［ニュートン算］

毎分一定量の水が流れ込んでくる水槽が３個あって、すでに３個とも満水状態です。 （３個の水槽は、全て同じ容量で、流れ込んでくる水量も同じです。） また、排水用のポンプＡ、Ｂ、Ｃの３種類があって、仮にＡのポンプ１個だけで水槽１個の排水をすれば、３０分で空にすることが分かっていますが、ＢとＣの排水能力は分かっていません。 さて、Ｘ君、Ｙ君、Ｚ君の３人が、各人好きなポンプを２台選んで同時に使い、これで１個の水槽を空にするまでの時間を競うことになりました。 Ｘ君はＡとＣを選び、Ｙ君はＡとＢを選び、Ｚ君はＢを２台選びました。 競争開始から３分経過したところでＸ君が水槽内の水の５分の１を排水し、その１分後にはＹ君が４分の１を排水し終え、さらにその１分後にはＺ君が４分の１の排水を終えました。 競争終了後、Ｘ君やＹ君に負けたＺ君は、Ｂのポンプを選んでしまたことが残念なようです。 もし、最も排水能力の高いポンプを２台選んでいたら、何分で水槽を空にすることができたでしょうか。

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２．解答例１( トトロ＠Ｎさん、Gouさん、高松洋さん、ヒデー王子さん、Miki Sugimotoさん、たこやき大学さん、C-Dさん、高橋道広さん、mhayashiさん、他多数)

水槽の容積をＶ、流れ込む水の量をＰ/分、各ポンプの排水能力をＡ/分、Ｂ/分、Ｃ/分とします。

Ｘ君は、３分でＶ/５だけ排水したのだから、毎分Ｖ/１５。
Ｙ君は、４分でＶ/４だけ排水したのだから、毎分Ｖ/１６。
Ｚ君は、５分でＶ/４だけ排水したのだから、毎分Ｖ/２０。
Ａのポンプ１台では、３０分で排水できるから、毎分Ｖ/３０。

そこで、Ｖ’＝Ｖ／２４０とおくと、
　Ｘ君：１６Ｖ’/分、Ｘ君：１５Ｖ’/分、Ｘ君：１２Ｖ’/分、Ｘ君：８Ｖ’/分
となります。

従って、
　Ａ＋Ｃ−Ｐ＝１６Ｖ’　・・・（１）
　Ａ＋Ｂ−Ｐ＝１５Ｖ’　・・・（２）
　２Ｂ−Ｐ＝１２Ｖ’　・・・（３）
　Ａ−Ｐ＝８Ｖ’　・・・（４）
が成立ちます。

（２）−（４）より、
　Ｂ＝７Ｖ’
これを（３）に代入して、
　１４Ｖ’−Ｐ＝１２Ｖ’
よって、Ｐ＝２Ｖ’
（４）より、Ａ＝Ｐ＋８Ｖ’＝１０Ｖ’
（１）より、Ｃ＝−Ａ＋Ｐ＋１６Ｖ’＝−１０Ｖ’＋２Ｖ’＋１６Ｖ’＝８Ｖ’

すなわち、Ａ＝１０Ｖ’、Ｂ＝７Ｖ’、Ｃ＝８Ｖ’、Ｐ＝２Ｖ’。

従って、Ａのポンプが最も排水能力が高いことが分かります。

Ａのポンプ２台では、毎分２×Ａ−Ｐ＝（２×１０−２）Ｖ’＝１８／２４０Ｖ
だけ排水できる。

従って、排水に要する時間は、
　２４０／１８＝４０／３分
となります。

答：４０／３分

以上

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３．解答例２( ταροさん、ＡЯＣさん、高田修成さん、noetherさん、まるケンさん、数楽者さん、中村明海さん、他多数)

Ａ’＝Ａ−Ｐ／２、Ｂ’＝Ｂ−Ｐ／２、Ｃ’＝Ｃ−Ｐ／２とおきます。

題意より、
　Ａ’＋Ｃ’＝１６Ｖ’　・・・（５）
　Ａ’＋Ｂ’＝１５Ｖ’　・・・（６）
　２Ｂ’＝１２Ｖ’　　　・・・（７）

（７）よりＢ’＝６Ｖ’
（６）より、Ａ’＝−６Ｖ’＋１５Ｖ’＝９Ｖ’
（５）より、Ｃ’＝−９Ｖ’＋１６Ｖ’＝７Ｖ’

よって、Ａの排水能力が最も高く、このとき
　２Ａ’＝１８Ｖ’＝１８／２４０Ｖ／分。
従って、排水に要する時間は２４０／１８＝４０／３分となります。

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