第１５２問の解答
１．問題 ［場合の数］
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Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５つの文字を左から順に１個ずつ選んで並べていきます。 さて、５個の文字を並べ終わったときに記録されている数字の和が奇数となるような並べ順は、何通りあるでしょうか。 |
２．解答例１( 高橋道広さん、まるケンさん、ヒデー王子さん、中村明海さん、あまれっとさん、素人では最年長？さん、他多数)
５個の文字を並べる方法は、５！＝５×４×３×２×１＝１２０通りあります。
このうち、最初の２文字が同じもの（例えばA、B、*、*、*）を１まとめにして考えると、全部で５×４＝２０組、そして１組にはそれぞれ３×２×１＝６通りの並べ方があります。
この２０組をA、B、*、*、*およびＢ、Ａ、*、*、*のように最初の２文字がちょうど入れ替えたものとなる２組をペアにして考えます。このようなペアは、２０／２＝１０ペアあります。
さて、任意のペアＸ、Ｙ、*、*、*およびＹ、Ｘ、*、*、*について考えます。
（ただし、ＸはＹよりアルファベット順で前にあるとします）後ろの３文字が同じＵ、Ｖ、Ｗのとき、Ｘ、Ｙ、Ｕ、Ｖ、ＷおよびＹ、Ｘ、Ｕ、Ｖ、Ｗでは、Ｕ、Ｖ、Ｗを並べるときに記録する数字は同じです。
また、Ｘ、Ｙでは０、０、そしてＹ、Ｘでは０、１となりますから、記録した数字の和は一方が奇数で、もう一方が偶数となります。従って、Ｘ、Ｙ、*、*、*の６通りで記録した数字の和が奇数のものがｎ１、偶数が６−ｎ１通りとすると、Ｙ、Ｘ、*、*、*では、逆に偶数のものがｎ１、奇数が６−ｎ１通りになります。（n1=3なのですが、そのことを今回は使いません）
すると、このペア全体では、奇数、偶数ともｎ１＋（６−ｎ１）＝６通りになります。
（例）
全部で１０ペアあったのですから、記録した数字の和が奇数のものは合計６×１０＝６０通りとなります。
答：６０通り
以上
他の解法としては、
・置換の問題に帰着する：noetherさん、ふぇるまーさん、あんみつさん
・帰納法によるもの：みずなぎさん、けむしろうさん
・数え上げによる：AUさん、有無相生さん、年中行灯さん
があります。