第１５３問の解答
１．問題 ［平面図形］
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２．解答例１(トトロ＠Ｎさん、たこやき大学さん、あんみつさん、みずなぎさん、大岡敏幸さん、吉川裕貴さん、他多数)
四角形ＣＥＡＤが正方形となるように点Ｅをとります。
△ＣＢＥは、ＢＣ＝ＣＥより二等辺三角形。
∠ＢＣＥ＝∠ＢＣＤ−∠ＥＣＤ＝１５０−９０＝６０度。よって、△ＣＢＥは正三角形となり、ＢＣ＝ＣＥ、∠ＢＥＣ＝６０度。
△ＢＥＡは、ＢＥ＝ＥＡより、二等辺三角形。
∠ＢＥＡ＝∠ＢＥＣ＋∠ＣＥＡ＝６０＋９０＝１５０度。よって、∠ＥＡＢ＝（１８０−１５０）／２＝１５度。
従って、∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ−∠ＢＡＥ＝９０−１５＝７５度となります。
答：７５度以上
３．解答例２( 川田智之さん、他)
ＢからＡＤと平行に引いた線分とＤＣの延長線との交点をＥ、
ＢからＣＤと平行に引いた線分とＡＤの交点をＦとします。
∠ＢＥＣ＝∠ＣＤＡ＝９０度、∠ＢＣＥ＝１８０−∠ＢＣＤ＝３０度。
よって、ＢＥ＝ＢＣ×1/2。四角形ＢＥＤＦは長方形となるので、ＤＦ＝ＢＥ＝ＡＤ×1/2。
よって、ＡＦ＝ＤＦ＝ＡＤ×1/2。従って、△ＢＤＡは二等辺三角形。
ところで、△ＢＣＤは二等辺三角形より、∠ＣＤＢ＝（１８０−１５０）／２＝１５度。
よって、∠ＢＡＤ＝∠ＢＤＡ＝９０−１５＝７５度となります。
４．解答例３(あまれっとさん、他)
四角形ＢＣＤＥが平行四辺形（菱形）となるよう点Ｅをとります。
△ＢＣＤは二等辺三角形で∠ＢＣＤ＝１５０度より、∠ＢＤＣ＝１５度。
同様に、△ＢＥＤは二等辺三角形で∠ＢＥＤ＝１５０度より、∠ＢＤＥ＝１５度。よって、∠ＥＤＡ＝９０−（１５＋１５）＝６０度。
ＥＤ＝ＡＤより、△ＥＤＡは正三角形。
よって、∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ＝６０度。△ＢＥＡは二等辺三角形で∠ＢＥＡ＝３６０−（１５０＋６０）＝１５０度より、∠ＥＡＢ＝１５度。
従って、∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＢ＋∠ＤＡＥ＝１５＋６０＝７５度となります。
５．解答例４(高橋道広さん、mitchさん、他)
△ＣＤＥが正三角形となるよう点Ｅをとります。
ＢＣ＝ＥＣ＝ＥＤ＝ＥＡより、△ＢＣＥと△ＥＤＡは二等辺三角形。
∠ＢＣＥ＝１５０−６０＝９０度より、∠ＢＥＣ＝４５度。
∠ＥＤＡ＝９０−６０＝３０度より、∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ＝７５度。∠ＢＥＣ＋∠ＣＥＤ＋∠ＤＥＡ＝４５＋６０＋７５＝１８０度。
よって、Ｂ、Ｅ、Ａは一直線上にあることになり、
∠Ａ＝∠ＤＡＥ＝７５度となります。
６．解答例５(うっしーさん、他)
四角形ＢＥＤＡが平行四辺形となるよう点Ｅをとります。
また、ＤＣの延長線とＢＥの交点をＦとします。
∠ＢＣＦ＝１８０−１５０＝３０度、∠ＢＦＣ＝∠ＣＤＡ＝９０度より、
ＢＦ＝ＢＣ×1/2。ＢＥ＝ＡＤ＝ＢＣより、ＥＦ＝ＢＦ＝ＢＣ×1/2。
よって、△ＢＣＥは正三角形となります。△ＥＣＤは二等辺三角形で∠ＥＣＤ＝３６０−（１５０＋６０）＝１５０度。
よって、∠ＣＥＤ＝１５度。よって、∠Ａ＝∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＣ＋∠ＣＥＤ＝６０＋１５＝７５度となります。
７．解答例６(ET2世さん、他)
△ＡＢＣと同じ三角形を辺ＡＤにつくり、△ＥＡＤとします。
△ＢＣＤは二等辺三角形で∠ＢＣＤ＝１５０度より、∠ＢＤＣ＝１５度。
よって、∠BDA=９０−１５＝７５度。△ＥＡＤ≡△ＡＢＣより、∠ＡＤＥ＝∠ＢＣＡ＝１５０−４５＝１０５度。
よって、∠ＢＤＡ＋∠ＡＤＥ＝７５＋１０５＝１８０度となり、Ｂ、Ｄ、Ｅは一直線上にあることになります。
従って、△ＢＡＥはＡＢ＝ＥＡとなり、二等辺三角形。
∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＤ＋∠ＣＢＡ＝３６０−（１５０＋９０）＝１２０度。
よって、∠ＤＥＡ＝（１８０−１２０）／２＝３０度。
∠Ａ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ＝∠ＤＥＡ＋∠ＣＡＤ＝３０＋４５＝７５度となります。
