第154問の解答
1.問題 [速さの問題]
A君とB君の家は道のりにして8km離れています。
ある日、B君と会う約束をしていたA君は、自分の家を時速v1kmの自転車で出てB君の家に行き、B君の家の門が閉まっていたので、すぐに自分の家まで引き返しました。
実は、B君も時速v2kmのバイクに乗ってA君の家に出かけたのですが、往路のB君の家から3kmの地点でA君とすれちがったことに気付かず、A君の家まで行って、A君が留守だったので、すぐに自分の家に引き返しました。各自の家を出発した時刻は、B君のほうが15分遅く、家に帰り着いた時刻は、A君のほうが25分遅かったとすると、v1、v2の速さはいくらになるでしょう。
2.解答例1(高橋道広さん、C-Dさん、他)
ダイアグラムで考えます。
往復に要する時間差は、15+25=40分ですから、片道では半分の20分となります。
A君は片道t3分、B君は(t2-t1)分かかるので、
t3-(t2-t1)=20。
t1=15だから、t3-t2=20-15=5分となります。x=t3-t2とおき、図の相似な三角形に着目すると、
(x+5):(x+15)=3:5
が成り立ちます。
よって、x+5=3k、x+15=5kとなるkがあります。差をとると、
(x+15)-(x+5)=5k-3k
10=2k
よって、k=5、x=3k-5=10となります。A君は、片道8kmを自転車でx+20=30分かかることなるので、
v1=8/30×60=16km/h
B君は、片道8kmをバイクでx=10分かかることなるので、
v2=8/10×60=48km/h
となります。
答:16km/h、48km/h
以上
3.解答例2(ありっちさん、うっしーさん、noetherさん、あんみつさん、きょえぴさん、中村明海さん、DrKさん、大岡敏幸さん、はるみいさん、他多数)
ダイアグラムで考えるのは、解答例1と同じです。
A君とB君が最初に出会う時刻をt0とします。連立方程式をたてます。
往復に要する時間差から、
16/v1 - 16/v2 = 40/60
よって、
1/v1-1/v2=5/2/60 ・・・(1)最初に出会うまでの時間より、
5/v1=15/60+3/v2
よって、
5/v1-3/v2=15/60 ・・・(2)ここで、60/v1=x1、60/v2=x2とおくと、
(1)、(2)は次のようになります。
x1-x2=5/2 ・・・(3)
5x1-3x2=15 ・・・(4)(4)−(3)×3より、
2x1=15/2、x1=15/4
よって、v1=4/15×60=16km/h(4)−(3)×5より、
2x2=5/2、
よって、v1=4/5×60=48km/h