２．解答例１(ヒデー王子さん、たこやき大学さん、萬田銀次郎さん、うっしーさん、他多数)
求める整数をＮとします。
Ｎ＝７ｎ＋５＝１１ｍ＋４＝１３ｋ＋９と書けます。 ・・・ （１）３Ｎ＝７・３ｎ＋７・２＋１＝１１・３ｍ＋１１＋１＝１３・３ｋ＋１３・２＋１
従って、３Ｎ−１は７、１１、１３のいずれでも割り切れるので、
３Ｎ−１＝７・１１・１３ｐと書けます。よって、最小の整数Ｎは、ｐ＝１のときで、
Ｎ＝（７・１１・１３＋１）／３＝３３４となります。答：３３４
以上
３．解答例２(長野美光さん、Miki Sugimotoさん、あんみつさん、他多数)
まず、Ｎ＝７ｎ＋５＝１１ｍ＋４より、ｎ＝０、１、・・・、６について７ｎ＋５を計算し、これらから１１で割った余りが４となるものを見つけます。
上の表より、ｎ＝３のとき、７・３＋５＝２６、ｍ＝２のとき１１・２＋４＝２６となります。
従って、N−２６＝７・(ｎ−３)＝１１・(ｍ−２)となるので、
Ｎ−２６は、７および１１の倍数、すなわち７７の倍数となります。
よって、Ｎ＝７７ｐ＋２６と書けます。ｐ＝０、１、・・・、１２について７７ｐ＋２６を計算し、これらから１３で割った余りが９となるものを見つけます。
ｐ＝４のとき、Ｎ＝７７・４＋２６＝１３・２５＋９＝３３４となります。
よって、求める整数の最小値は３３４と分かります。
（後半の別解）
７７＝１３・６−１、２６＝１３・２より、
Ｎ＝７７ｐ＋２６＝（１３・６−１）ｐ＋１３・２＝１３（６ｐ＋１）＋１３−ｐ
よって、１３−ｐ＝９、ｐ＝４となります。
４．解答例３(トトロ＠Ｎさん、noetherさん、すうぱあさん、LIONさん、DrKさん、Taroさん、他多数)
まず、Ｎ＝１１ｍ＋４＝１３ｋ＋９より、ｍ＝０、１、・・・、１２について１１ｍ＋４を計算し、これらから１３で割った余りが９となるものを見つけます。
上の表より、ｍ＝４のとき、１１・４＋４＝４８、ｋ＝３のとき１３・３＋９＝４８となります。
従って、N−４８＝１１・(ｍ−４)＝１３・(ｋ−３)となるので、
Ｎ−４８は、１１および１３の倍数、すなわち１４３の倍数となります。
よって、Ｎ＝１４３ｐ＋４８と書けます。ｐ＝０、１、・・・、６について１４３ｐ＋４８を計算し、これらから７で割った余りが５となるものを見つけます。
ｐ＝２のとき、Ｎ＝１４３・２＋４８＝７・４７＋５＝３３４となります。
よって、求める整数の最小値は３３４と分かります。
（後半の別解）
１４３＝７・２０＋３、４８＝７・６＋６より、
Ｎ＝１４３ｐ＋４８＝（７・２０＋３）ｐ＋７・６＋６＝７（２０ｐ＋６）＋３ｐ＋６
ｐ＝０、１、・・のとき、３ｐ＋６＝６、９、１２、・・。
７で割った余りは、６，２，５、・・。
よって、ｐ＝２、Ｎ＝１４３＋２＋４８＝３３４となります。
５．解答例４(高橋道広さん、大岡敏幸さん、他)
Ｎ＝７ｎ＋５＝１１ｍ＋４より、
１１ｍ−７ｎ＝１
４ｍ＋７（ｍ−ｎ）＝１
４ｍ＋４ｎ'＋３ｎ'＝１ （ｎ'＝ｍ−ｎ）
４ｍ'＋３ｎ'＝１ （ｍ'＝ｍ＋ｎ'）
ｍ'＋３ｍ'＋３ｎ'＝１
ｍ'＋３ｎ''＝１ （ｎ''＝ｍ'＋ｎ'）
よって、ｍ'＝３ｔ＋１、ｎ''＝−ｔとなる。これより、
ｎ'＝ｎ''−ｍ'＝（−ｔ）−（３ｔ＋１）＝−４ｔ−１
ｍ＝ｍ'−ｎ'＝３ｔ＋１−（−４ｔ−１）＝７ｔ＋２
ｎ＝ｍ−ｎ'＝７ｔ＋２−（−４ｔ−１）＝１１ｔ＋３
Ｎ＝７・（１１ｔ＋３）＋５＝７７ｔ＋２６となります。Ｎ＝７７ｔ＋２６＝１３ｋ＋９より、
７７ｔ−１３ｋ＝−１７
（１３・５＋１２）ｔ−１３ｋ＝−１３−４
１２ｔ−１３（ｋ−５ｔ−１）＝−４
１２ｔ−１３ｋ'＝−４ （ｋ'＝ｋ−５ｔ−１）
１２ｔ−１２ｋ'−ｋ'＝−４
１２ｔ'−ｋ'＝−４ （ｔ'＝ｔ−ｋ'）
よって、ｋ'＝１２ｓ＋４、ｔ'＝ｓとなります。これより、
ｔ＝ｔ'＋ｋ'＝ｓ＋１２ｓ＋４＝１３ｓ＋４
ｋ＝ｋ'＋５ｔ＋１＝（１２ｓ＋４）＋５・（１３ｓ＋４）＋１＝７７ｓ＋２５
このとき、
ｎ＝１１・（１３ｓ＋４）＋３＝１４３ｓ＋４７、
ｍ＝７・（１３ｓ＋４）＋２＝９１ｓ＋３０。
よって、Ｎ＝７７・（１３ｓ＋４）＋２６＝１００１ｓ＋３３４。
従って、Ｎの最小値は、ｓ＝０とおいて、Ｎ＝３３４となります。
（参考）「中国剰余定理」
aで割るとp余る、bで割るとq余る、……、cで割るとr余 る自然数を求めるとき、
a、b、…、c が互いに素ならば、
(1) p、q、…、rの値に関わらず
(2) a×b× …×c以下の値であるもの
は、ただ１つ存在する。