２．解答例１(トトロ＠Ｎさん、ヒデー王子さん、noetherさん、Miki Sugimotoさん、mhayashiさん、高橋道広さん、有無相生さん、他多数)
五角形の内部にある点Ｐへ、五角形の頂点Ｄを重ねるように折ったとき、折り返されて見える紙の裏側が三角形になるときを考えてみましょう。
そこで、Ｅが中心で、半径が五角形の１辺の長さｒと等しい円を円Ｅ、
Ｃを中心とし、半径がｒの円を円Ｃとします。折り返されて見える紙の裏側が三角形になる条件は、辺の折り目がＤとＥの間（これをＦとする）、およびＣとＤの間（これをＧとする）にあるときです。
さて、ＰＦ＝ＤＦ、ＰＧ＝ＤＧですから、ＦＧはＰＤの垂直二等分線になります。
直線ＤＰと円Ｅの交点をＰ１、円Ｃとの交点をＰ２とします。△ＰＦＤ∽△Ｐ１ＦＤですから、
Ｐが円Ｅの内部にあるときは、ＤＰ≦ＤＰ１、従って、ＤＦ≦ＤＥ、
Ｐが円Ｅの外にあるときは、ＤＰ＞ＤＰ１、従って、ＤＦ＞ＤＥ。同様に、
△ＰＧＤ∽△Ｐ２ＧＤですから、
Ｐが円Ｃの内部にあるときは、ＤＰ≦ＤＰ２、従って、ＤＧ≦ＤＣ、
Ｐが円Ｃの外にあるときは、ＤＰ＞ＤＰ２、従って、ＤＧ＞ＤＣ。以上から、求める条件は、点Ｐが円Ｃと円Ｅの共通部分の中ににあることとなります。
他の頂点についても同様ですから、結局点Ｐは、円Ａ、円Ｂ、円Ｃ、円Ｄ、および円Ｅの共通部分内（正五角形が丸っこくなった赤い部分）にあることになります。
円Ｄと円Ｅの交点をＱ１、円Ｄと円Ｃの交点をＱ２とします。
ＥＱ１＝ＤＱ１＝ＤＥ＝ｒ、ＣＱ２＝ＤＱ２＝ＣＤ＝ｒより、
△ＥＱ１Ｄ、△ＣＱ２Ｄはともに正三角形となります。∠ＣＤＥは正五角形の内角だから、１８０−３６０／５＝１０８度。
よって、
∠Ｑ１ＤＱ２＝∠ＥＤＱ１＋∠ＣＤＱ２−∠ＣＤＥ
＝６０＋６０−１０８
＝１２度。従って、円弧Ｑ１Ｑ２＝２πｒ×１２／３６０。
よって、求める長さＬはこの５倍だから、
Ｌ＝５×２πｒ×１２／３６０
＝２π×５×６×１２／３６０
＝２π
≒６.２８ｃｍとなります。答：６.２８ｃｍ
以上
