第159問の解答


1.問題 [整数の性質]

10/11よりも大きく11/12よりも小さい分数の中で、
分子最も小さい分数は、何分の何でしょうか?
 

2.解答例1(Miki Sugimotoさん、ありっちさん、たこやき大学さん、トトロ@Nさん、萬田銀次郎さん、すうぱあさん、Taroさん、清川育男さん、DrKさん、中学への算数学コンさん、他多数)

次の補題を用います。(ただし、数は全て正)

(補題1)c<b<aのとき、b/a<(b+c)/(a+c)
  b(a-c)-a(b-c)
  =ac-bc
  =(a-b)c>0
よって、
  (b-c)/(a-c)<b/a
参考図1
(補題2)a<c、b<d、b/a<d/cのとき、b/a<(b+d)/(a+c)<d/c
 b/a<d/cより、ad-bc>0
  a(b+d)-b(a+c)
 =ad-bc>0
よって、
 b(a+c)<a(b+d)
 b/a<(b+c)/(a+c)
b/a<d/cより、ad-bc>0
 d(a+c)-c(b+d)
 =ad-bc>0
よって、
 c(b+d)<d(a+c)
 (b+d)/(a+c)<d/c
参考図2

 a=11、b=10、c=1とおくと、
補題1より、
 20/22<(20+1)<(22+1)=21/23
 a=12、b=11、c=1とおくと、
補題1より、
 21/23<(21+1)/(23+1)=22/24
よって、20/22<21/23<22/24、
 10/11<21/23<11/12

 a=11、b=10、c=12、d=11とおくと、
補題2より、
 10/11<(10+11)/(11+12)<11/12、
 10/11<21/23<11/12。  

 答:21/23

以上


3.解答例2(Taroさん、Miki Sugimotoさん、他)

一般化して、(m-1)/mより大きくm/(m+1)より小さい分数q/pを求めます。

 (m-1)/m<q/p<m/(m+1)
 1-1/m<1-q'/p<1-1/(m+1) (q'=p-qとおきます)
 1/(m+1)<q'/p<1/m
 q'/(q'm+q')<q'/p<q'/q'm
よって、q'm<p<q'm+q'。

q'=1とすると、m<p<m+1となり不適。

q'=2とすると、2m<p<2m+2となり、p=2m+1、q=p-q'=2m-1。

q'>2とすると、p=q'm+r(ただし、1≦r≦q'-1)、
 q=p-q'=q'm+r-q'≧q'm+1-q'=q'(m-1)+r>2(m-1)+1=2m-1。

従って、q=2m-1が最小。

よって、q/p=(2m-1)/(2m+1)となります。

本問では、m=11なので、q/p=(2・11-1)/(2・11+1)=21/23となります。