第１６０問の解答

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１．問題　［平面図形］

幅が３ｃｍの方眼紙に、左図のような模様を描きました。 赤色に塗った部分(A)と黄色に塗った部分(B)の面積差は何ｃｍ2でしょう？

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２．解答例１(Gouさん、ヒデー王子さん、ＫＩＮさん、長野美光さん、noetherさん、パリンさん、うっしーさん、計算鑑定人さん、ありっちさん、大岡敏幸さん、他多数)

対称な図形ですから、４分の１で考えます。

ｒ＝６ｃｍ、ｈ＝ｒ√３／２、ｄ＝ｈ−ｒ／２とおきます。
Ａ１＝（r／２）²＝ｒ²／４
Ａ２＝ｒ／２×ｄ＝ｈｒ／２−ｒ²／４
Ａ３＝πｒ²×３０／３６０−１／２×ｒ×ｒ／２＋１／２ｄ²
　　＝πｒ²／１２−ｒ²／４＋（ｈ−ｒ／２）²／２
　　＝πｒ²／１２−ｒ²／４＋ｈ²／２−ｈｒ／２＋ｒ²／８
　　＝πｒ²／１２−ｒ²／８＋ｈ²／２−ｈｒ／２
Ａ／４＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３
　　＝ｒ²／４＋（ｈｒ／２−ｒ²／４）＋（πｒ²／１２−ｒ²／８＋ｈ²／２−ｈｒ／２）
　　＝πｒ²／１２−ｒ²／８＋ｈ²／２
　　＝πｒ²／１２−ｒ²／８＋ｒ²×３／８
　　＝πｒ²／１２＋ｒ²／４
　　＝３π＋９

Ｂ１＝Ａ２＝ｒｄ
Ｂ２＝πｒ²×３０／３６０−１／２×ｈ×ｒ／２
Ｂ／４＝Ｂ１＋Ｂ２×２
　　＝（ｈｒ／２−ｒ²／４）＋πｒ²／６−ｈｒ／２
　　＝πｒ²／６−ｒ²／２
　　＝６π−９

よって、
Ａ−Ｂ＝（Ａ／４−Ｂ／４）×４
　＝（−３π＋１８）×４
　＝−１２×３．１４＋７２
　≒３４．３２

　答：３４．３２ｃｍ²

以上

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３．解答例２(香川仁志さん、C-Dさん、トトロ＠Ｎさん、きょえぴさん、あんみつさん、高橋道広さん、他)

等積変形をします。

Ａ／４＝π×６²／１２＋３²＝３π＋９

Ｂ／４＝π×６²／６−３²＝６π−９

以下、解答例１と同様

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