第163問の解答
1.問題 [推理]
A君とBさんが、次のようなルールでじゃんけんの5回勝負を行いました。
- ぐうで勝った場合:+1ポイント、 ぐうで負けた場合:−1ポイント
- ちょきで勝った場合:+2ポイント、ちょきで負けた場合:−2ポイント
- ぱあで勝った場合:+3ポイント、 ぱあで負けた場合:−3ポイント
この結果、A君の最終ポイントは+4、Bさんは−6だったそうです。
2人ともぐう、ちょき、ぱあを少なくとも1回は出したとすると、2人が出したぐう、ちょき、ぱあのそれぞれ何回だしたでしょうか?
2.解答例1(まるケンさん、トトロ@Nさん、他)
A、Bが出す手によって決まるポイントの組み合わせは下表のとおりです。
各勝負でつくポイント差に注目して考えます。
Aは、ぐう、ちょき、ぱあを少なくとも1回ずつ出し、そのとき勝ったか負けたかによって下表のように8通りのケースがあります。
最終的なポイント差は+10ですが、 残り2回の勝負で生じるポイント差は、-10〜-6、-2〜+2、+6〜+10の範囲となるので、ケース4〜ケース8は題意に適しません。
(ケース1)
残り2回でポイント差が-2となるのは、+3、-5となるとき。
従って、5回の勝負は+3、+3、+4、+5、-5。
Aのポイントは、+1、+1、+3、+2、-3、合計+4、
Bのポイントは、-2、-2、-1、-3、+2、合計-6
となる。また、このとき、
Aの手は、ぐう2回、ちょき1回、ぱあ2回、
Bの手は、ぐう1回、ちょき3回、ぱあ1回、
となるので題意に適する。
(ケース2)
残り2回でポイント差が+7となるのは、+3、+4となるとき。
従って、5回の勝負は+3、+3、+4、+5、-5。これは、ケース1と全く同じ。(ケース3)
残り2回でポイント差が+6となるのは、+3、+3となるとき。
従って、5回の勝負は+3、+3、+3、+4、-3。
Aのポイントは、+1、+1、+1、+3、-2、合計+4、
Bのポイントは、-2、-2、-2、-1、+1、合計-6
となるが、
Aの手は、ぐう1回、ちょき3回、ぱあ1回、
Bの手は、ぐう0回、ちょき4回、ぱあ1回
となるので題意に不適。答:A:ぐう2回、ちょき1回、ぱあ2回、B:ぐう1回、ちょき3回、ぱあ1回
以上
3.解答例2(長野美光さん、Taroさん、中村明海さん、川田智之さん、他)
両者のポイント和に着目すると、ぱーで勝ったときのみ、両者の得点和が+2で、他は-1なので、5回中1回がぱーで勝ち、他4回がぐーかちょきで勝ちとなります。
実際、ぐうで勝ったのをx回とすると、
2x−(5−x)=−2
3x=3
よって、x=1となります。ぱーで勝ったのがBとすると、ポイント差は-4。
Aはぱあを少なくとも1回は出したが、これは負けのケースでポイント差は-5、
従ってこの2回でポイント差が-9となり、残りの3回でポイント差+19にはなりえないので不適。従って、ぱーで勝ったのがAであり、ポイント差は+4、このときBはぐう。
次に、Aは少なくともぐうを1回出したが、このときBの手はちょきでAの勝ち、ポイント差は+3。
さらに、Bはぱあを少なくとも1回出したが、このときAの手はちょきでAの勝ち、ポイント差は+5。
ここまでの3回で、A、Bともぐう、ちょき、ぱあをそれぞれ1回ずつ出したことになり、ポイント差は合計+12。
これは解答例1のケース1の場合であり、以下省略。