第164問の解答


1.問題 [平面図形]

問題図
左図の△ABCAB:AC:BC=3:4:5の直角三角形です。

AF:BF=4:5、AE:CE=7:5となるよう点F、Eをとり、辺BC上に点をとったところ、△AEF=△DEFとなりました。

このとき、BD:CD何:何でしょうか?

 


2.解答例1(YokoyaMacさん、POIさん、あやのりんさん、Taroさん、計算鑑定人さん、トトロ@Nさん、他多数)

AB=9cm、AC=12cm、BC=15cmとして考えます。
点D
がちょうどおよびに重なった場合の面積を計算してみましょう。

参考図1

に重なったとき:
 △FDE=△FBE=△ABE×7/12=△ABC×5/9×7/12
=54×5/9×7/12=35/2=17.5cm2

に重なったとき:
 △FDE=△FCE=△AFC×5/12=△ABC×4/9×5/12
=54×4/9×5/12=10cm2

さて、点からへ動かしていくとき、△FDEの面積は、底辺FEが共通だから高さに比例、すなわちDCの長さに比例して増えていきます。

15cm増えたところで、面積の増加分は17.5−10=7.5cm2
従って、4cm2増えて△AFEと等しい14cm2になるのは、
DC=15×4/7.5=8cmのとき、よってBD:DC=7:8のときです。

答:7:8

以上


3.解答例2(数楽者さん、Taroさん、げんさん、他)

AB=9cm、AC=12cm、BC=15cmとして考えます。
B、A、D、Cからそれぞれ直線FEに下ろした垂線の足をG、H、I、Jとします。

参考図2

AHの長さを28とすると、
 △BFG△AFHが相似より、BG=AH×5/4=35
 △CEJ△AEHが相似より、CJ=AH×5/12=20
となります。
また、△DFE=△AFEだからDI=AH=28となります。

ここで、点を通って直線FEに平行な直線を引き、BGDIとの交点をK、Mとします。

 BK=BG−KG=35−20=15
 DM=DI−MI=28−10=8

△CKB△CMDは相似だから、DC:BC=MD:KB=8:15
よって、BD:DC=7:8となります。


4.解答例3(たなかさん、他)

を通りEFに平行線を引き、直線ACおよびABとの交点をI、Jとします。

参考図3

△AFE=△FDEより、GH=KD=AG
従って、F、EAJ、AIの中点となり、FJ=4、JB=1、CI=2となります。

△ABCおよび直線JIに関してメネラウスの定理より、
 (AJ/JB)・(BD/DC)・(CI/IA)=1
 (8/1)・(BD/DC)・(2/14)=1
よって、BD:DC=7:8となります。


5.解答例4(長野美光さん、中村明海さん、高橋道広さん、他)

を通り EFに平行線を引き、直線ACおよびABとの交点をG、Hとします。
また、を通りACに平行に引いた直線とGHの延長線との交点をとします。

参考図4

解答例3と同様にして、FH=4、HB=1、CG=2となります。

△AFE=△FDEより、点は直線GI上になければなりません。
従って、GIBCの交点に他なりません。

△BHI△AFEは相似より、BI=HB×AF/AE=7/4
△DBI△DCGは相似より、BD:DC=BI:CG=(7/4):2=7:8となります。


(その他の解法)

面積等より、方程式を解く
 ・・・Gouさん、あんみつさん、うっしーさん、noetherさん、ちーくん
   杉本未来さん、C-Dさん、圭太さん

座標で考え方程式を解く・・・高橋道広さん、ありっちさん、有無相生さん