第１６４問の解答

１．問題　［平面図形］

問題図
左図の△ＡＢＣはＡＢ：ＡＣ：ＢＣ＝３：４：５の直角三角形です。

ＡＦ：ＢＦ＝４：５、ＡＥ：ＣＥ＝７：５となるよう点Ｆ、Ｅをとり、辺ＢＣ上に点Ｄをとったところ、△ＡＥＦ＝△ＤＥＦとなりました。

このとき、ＢＤ：ＣＤは何：何でしょうか？

　

２．解答例１(YokoyaMacさん、POIさん、あやのりんさん、Taroさん、計算鑑定人さん、トトロ＠Ｎさん、他多数)

ＡＢ＝９ｃｍ、ＡＣ＝１２ｃｍ、ＢＣ＝１５ｃｍとして考えます。
点ＤがちょうどＢおよびＣに重なった場合の面積を計算してみましょう。

参考図1

点ＤがＢに重なったとき：
　△ＦＤＥ＝△ＦＢＥ＝△ＡＢＥ×７／１２＝△ＡＢＣ×５／９×７／１２
＝５４×５／９×７／１２＝３５／２＝１７．５ｃｍ2。

点ＤがＣに重なったとき：
　△ＦＤＥ＝△ＦＣＥ＝△ＡＦＣ×５／１２＝△ＡＢＣ×４／９×５／１２
＝５４×４／９×５／１２＝１０ｃｍ2。

さて、点ＤがＣからＢへ動かしていくとき、△ＦＤＥの面積は、底辺ＦＥが共通だから高さに比例、すなわちＤＣの長さに比例して増えていきます。

１５ｃｍ増えたところで、面積の増加分は１７．５−１０＝７．５ｃｍ2。
従って、４ｃｍ2増えて△ＡＦＥと等しい１４ｃｍ2になるのは、
ＤＣ＝１５×４／７．５＝８ｃｍのとき、よってＢＤ：ＤＣ＝７：８のときです。

答：７：８

以上

３．解答例２(数楽者さん、Taroさん、げんさん、他)

ＡＢ＝９ｃｍ、ＡＣ＝１２ｃｍ、ＢＣ＝１５ｃｍとして考えます。
点Ｂ、Ａ、Ｄ、Ｃからそれぞれ直線ＦＥに下ろした垂線の足をＧ、Ｈ、Ｉ、Ｊとします。

参考図2

ＡＨの長さを２８とすると、
　△ＢＦＧと△ＡＦＨが相似より、ＢＧ＝ＡＨ×５／４＝３５、
　△ＣＥＪと△ＡＥＨが相似より、ＣＪ＝ＡＨ×５／１２＝２０
となります。
また、△ＤＦＥ＝△ＡＦＥだからＤＩ＝ＡＨ＝２８となります。

ここで、点Ｃを通って直線ＦＥに平行な直線を引き、ＢＧ、ＤＩとの交点をＫ、Ｍとします。

　ＢＫ＝ＢＧ−ＫＧ＝３５−２０＝１５、
　ＤＭ＝ＤＩ−ＭＩ＝２８−１０＝８。

△ＣＫＢと△ＣＭＤは相似だから、ＤＣ：ＢＣ＝ＭＤ：ＫＢ＝８：１５、
よって、ＢＤ：ＤＣ＝７：８となります。

４．解答例３(たなかさん、他)

点Ｄを通りEFに平行線を引き、直線ＡＣおよびＡＢとの交点をＩ、Ｊとします。

参考図3

△ＡＦＥ＝△ＦＤＥより、ＧＨ＝ＫＤ＝ＡＧ、
従って、Ｆ、ＥはＡＪ、ＡＩの中点となり、ＦＪ＝４、ＪＢ＝１、ＣＩ＝２となります。

△ＡＢＣおよび直線ＪＩに関してメネラウスの定理より、
　（ＡＪ／ＪＢ）・（ＢＤ／ＤＣ）・（ＣＩ／ＩＡ）＝１
　（８／１）・（ＢＤ／ＤＣ）・（２／１４）＝１
よって、ＢＤ：ＤＣ＝７：８となります。

５．解答例４(長野美光さん、中村明海さん、高橋道広さん、他)

点Ｄを通り EFに平行線を引き、直線ＡＣおよびＡＢとの交点をＧ、Ｈとします。
また、Ｂを通りＡＣに平行に引いた直線とＧＨの延長線との交点をＩとします。

参考図4

解答例３と同様にして、ＦＨ＝４、ＨＢ＝１、ＣＧ＝２となります。

△ＡＦＥ＝△ＦＤＥより、点Ｄは直線ＧＩ上になければなりません。
従って、ＤはＧＩとＢＣの交点に他なりません。

△ＢＨＩと△ＡＦＥは相似より、ＢＩ＝ＨＢ×ＡＦ／ＡＥ＝７／４。
△ＤＢＩと△ＤＣＧは相似より、ＢＤ：ＤＣ＝ＢＩ：ＣＧ＝（７／４）：２＝７：８となります。

（その他の解法）

面積等より、方程式を解く
　・・・Gouさん、あんみつさん、うっしーさん、noetherさん、ちーくん、
　　　杉本未来さん、C-Dさん、圭太さん

座標で考え方程式を解く・・・高橋道広さん、ありっちさん、有無相生さん