第１６６問の解答
１．問題 ［整数の性質］
初詣に近所の神社に出かけたゆたか君は、ちょっと変わった２１世紀記念おみくじを引くことになりました。そのおみくじとは、次のようなものです。 箱の中に、金、赤、青、白の小さな玉がそれぞれ沢山入っていて、ここから玉を１個ずつ金色の玉が出るまで取り出し続けます。
赤を取り出すと９３点、青が出たら５６点、白が出たら３７点が順次加点され、金が出たら２１点を加えて玉を取り出す作業は終了し、総得点を計算します。
また、壁には得点の総計が書かれているボックスが並んでいて、総得点に該当するボックスの中から１枚おみくじを取り出して渡してくれます。さて、壁には得点の可能性がある２１点や５８点のボックス、・・・などがずらーーっと並んでいるのですが、得点する可能性のない数字を書いたボックスは、はじめから用意されていません。
従って、ある数字までは、数字がまばらになっているのですが、このある数字を書いたボックスが用意されていないのを最後に、その後は全ての数字のボックスが並べられていました。では、このある数字とはいったい何なのでしょうか？
２．解答例１(AUさん、Michaelさん、Taroさん、長野美光さん、萬田銀次郎さん、中村明海さん、高橋道広さん、ミミズクはくず耳さん、DrKさん、圭太さん、数楽者さん、他多数)
９３＝５６＋３７なので、赤が１個出ることは、青、白１個ずつ出ることと同等になりますので、赤色の玉は無視して構いません。
また、金色の玉は最後に１個だけ出るので、結局、
（青色の玉の個数）×５６＋（赤色の玉の個数）×３７で表せない整数で最大のものを求め、それに２１を加えれば良いことになります。（補題１）
pとqが互いに素な正の整数のとき、np+mq（n,m≧0）で表せない整数の最大値は、pq-(p+q)である。p=56、q=37とすれば補題より、求める数は56×37-(56+37)+21=2000となります。
（補題１の証明）
横q列の表に整数を0から順に並べていき、その中からpの倍数に印をつけます。 （下表は、p=7、q=9のとき）
Pn={np、np+q、np+2q、np+3q、・・}とすると、Pnの各数は、np+mqで表されており、表では、npと同じ列で、npより下に順番に並んでいます。
ところが、p0からpq-1は、qで割った余りが全て異なる（補題２）ので、np+mqで表される整数は、P0、P1、・・、Pq-1のいずれかに入っていることになります。
従って、np+mpでは表せない整数の最大値は、Pq-1の１段上の整数、すなわち(q-1)p-q=pq-(p+q)となります。（補題２の証明）
もしpnとpmがqで割った余りが等しいと仮定します。
（ただし、0≦n＜m≦q-1）すると、mp-np=(m-n)pがqの倍数になりますが、これは0<m-n<q、およびpとqは互いに素ということに反します。
従って、補題２が成り立ちます。
答：２０００
以上