第１６９問の解答

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１．問題　［平面図形］

左図は、対角線を２本引いてある正方形と半円を組み合わせて描かれたものです。 正方形の１辺の長さが２０ｃｍあるとき、青色の部分Ｓ１と赤色の部分Ｓ２の面積の差は何ｃｍ2になるでしょうか？

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２．解答例１(トトロ＠Ｎさん、CRYING DOLPHINさん、高橋道広さん、圭太さん、萬田銀次郎さん、Taroさん、POIさん、DrKさん、他多数)

ａ＝ＡＢ＝２０ｃｍ、ＥＢ＝ｂとします。ｂ²＝ａ²/2。

Ｓ１＝中心角135度の扇形−Ｓ３
ＥＢ＝ＢＦより、Ｓ３＝Ｓ３'。
∠ＤＧＨ＝∠ＥＧＢ＝∠ＧＥＢ＝２２．５度。
∠ＣＧＨ＝∠ＣＧＤ−∠ＤＧＨ＝９０−２２．５＝７２．５度。
∠ＣＧＦ＝∠ＦＧＨ−∠ＣＧＨ＝９０−７２．５＝２２．５度。

△ＣＧＦと△ＤＧＨについて、
ＣＧ＝ＤＧ、∠ＣＧＦ＝∠ＤＧＨ＝２２．５度、∠ＧＣＦ＝∠ＧＤＨ＝４５度、
よって△ＣＧＦ≡△ＤＧＨ。Ｓ２＝Ｓ２'。

　Ｓ１−Ｓ３
＝（中心角135度の扇形−Ｓ３）−Ｓ２
＝中心角135度の扇形−（Ｓ３'＋Ｓ２'）
＝中心角135度の扇形−△ＢＧＣ
＝πｂ²×3/8−ｂ²×1/4
＝π×ａ²/2×3/8−ａ²/2×1/4
≒３．１４×２０²/2×3/8−２０²/2×1/4
＝３．１４×７５−１００
＝１３５．５ｃｍ²。

答：１３５．５ｃｍ²

以上

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３．解答例２(Gouさん、うっしーさん、あんみつさん、ｎoetherさん、有無相生さん、大岡敏幸さん、ばななみるくさん、N.Nishiさん、他多数)

下図で考えます。

Ｓ１＝中心角135度の扇形−Ｓ３
Ｓ３＝△ＥＧＩ−△ＧＢＩ
　　＝1/2×b×ａ/2
　　＝1/4×ａｂ
ＨＪ＝ＩＦ
　　＝ｂ−ａ/2
Ｓ２＝△ＤＧＪ−△ＨＧＪ
　　＝１/８×ａ²−1/2×ａ/2×（ｂ−ａ/2）
　　＝１/８×ａ²−1/4×ａｂ

よって、
　Ｓ１−Ｓ３
＝中心角135度の扇形−（Ｓ３＋Ｓ２）
＝中心角135度の扇形−１/８×ａ²
＝≒３．１４×２０²/2×3/8−１/８×２０²
＝３．１４×７５−１００
＝１３５．５ｃｍ²。

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