第169問の解答


1.問題 [平面図形]

問題図

左図は、対角線を2本引いてある正方形半円を組み合わせて描かれたものです。
正方形の1辺の長さが20cmあるとき、青色の部分S1と赤色の部分S2面積の差何cm2になるでしょうか?

 


2.解答例1(トトロ@Nさん、CRYING DOLPHINさん、高橋道広さん、圭太さん、萬田銀次郎さん、Taroさん、POIさん、DrKさん、他多数)

a=AB=20cm、EB=bとします。2=a2/2

参考図1


S1=中心角135度の扇形S3
EB=BFより、S3=S3'
DGH=∠EGB=∠GEB=22.5度
CGH=∠CGD−∠DGH=90−22.5=72.5度
CGF=∠FGH−∠CGH=90−72.5=22.5度

CGFと△DGHについて、
CG=DG、∠CGF=∠DGH=22.5度、∠GCF=∠GDH=45度
よって△CGF≡△DGH。S2=S2'

 S1−S3
=(中心角135度の扇形S3)−S2
=中心角135度の扇形−(S3'S2'
=中心角135度の扇形−△BGC
πb2×3/8−b2×1/4
π×a2/2×3/8−a2/2×1/4
3.14×202/2×3/8−202/2×1/4
3.14×75−100
135.5cm2

答:135.5cm2

以上


3.解答例2(Gouさん、うっしーさん、あんみつさん、noetherさん、有無相生さん、大岡敏幸さん、ばななみるくさん、N.Nishiさん、他多数)

下図で考えます。

参考図2

S1=中心角135度の扇形S3
S3=△EGI−△GBI
  =1/2×b×a/2
  =1/4×ab
HJ=IF
  =b−a/2
S2=△DGJ−△HGJ
  =1/8×a2−1/2×a/2×(b−a/2)
  =1/8×a2−1/4×ab

よって、
 S1−S3
=中心角135度の扇形−(S3+S2)
中心角135度の扇形1/8×a2
3.14×202/2×3/8−1/8×202
3.14×75−100
135.5cm2