第１７１問の解答

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１．問題　［空間図形］

図２は、角Oが９０度の合同な３つの直角二等辺三角形でできた三角錐の形をしたふたのない容器ＯＡＢＣに、半径が３ｃｍの球を入れ、図１のような正三角形ＡＢＣのふたをしたときの様子です。（正三角形ＡＢＣには、各辺の中点を結ぶ正三角形の穴が空いています。） このとき、ふたに空いた穴からは、球が穴の３辺に接するようにはみ出ていました。 では、三角錐ＯＡＢＣの体積は、何ｃｍ3あるでしょうか？

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２．解答例１(Taroさん、香川仁志さん、ふじさきたつみさん、DrKさん、トトロ＠Ｎさん、あんみつさん、他多数)

面ＯＢＣが底面で、ＡがＯの真上に来るような位置で考えます。

正三角形ＡＢＣに空いた穴を正三角形ＰＱＲとします。
球とＰＱＲが接するのは、ＰＱＲの各辺の中点Ｓ、Ｔ、Ｕとなります。

１辺が６ｃｍの立方体を３つの面を三角錐ＯＡＢＣに合わせると、球はこの立方体にすっぽり入り各面の中心で接します。

従って、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝１２ｃｍとすると、Ｐ、Ｑ、ＲはＡＢ、ＢＣ、ＣＡの中点だから、立方体の頂点になります。
よって、このときＲＰ、ＰＱ、ＱＰの中点Ｓ、Ｔ、Ｕは立方体の上面、および側面の中心になるので、球と接します。

よって、求める三角錐ＯＡＢＣの体積は、
　1/3×（1/2×１２×１２）×１２＝２８８ｃｍ³
となります。

答：２８８ｃｍ³

以上

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３．解答例２(たなかさん、ちーくん、noetherさん、有無相生さん、King of Kingさん、永弘さん、他多数)

Ｏを原点とし、ＯＢをｘ軸、ＯＣをｙ軸、ＯＡをｚ軸とする座標系で考えます。
球の半径をｒ＝３ｃｍ、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ｄとします。

Ｏ（0、0、0）、A（0、0、d）、Ｂ（d、0、0）、C（0、d、0）、
Ｐ（d/2、0、d/2）、Ｑ（d/2、d/2、0）、Ｒ（0、d/2、d/2）、
Ｓ（d/4、d/4、d/2）、Ｔ（d/2、d/4、d/4）、Ｕ（d/4、d/2、d/4）
となり、
また、球の式は
　　(x-r)²＋(y-r)²＋(z-r)²＝r²　・・・（１）
となります。

従って、
　(d/4-r)²＋(d/4-r)²＋(d/2-r)²＝r²
　3/8d²-2dr+3r² = r²
　1/8(3d-4r)(d-4r)＝０
よって、d＝4/3rまたはd＝4rとなります。

d＝4/3rのとき、球は三角錐の中には収まらないので不適、
よって、d＝4r＝１２ｃｍとなります。

従って、求める三角錐ＯＡＢＣの体積は、
　1/3×（1/2×d²）×d＝２８８ｃｍ³
となります。

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