第173問の解答


1.問題 [推理]

君と君が次のようなルールカードゲームをしています。

  • 各自が最初、20ポイント2枚のカードに振り分けます。

  • お互いが、2枚のうちのどちらかのカード1枚選んで出します。

  • 相手が出したカード数値の半分だけ、自分が出したカードポイントを減らします。
    ただし、ポイントより小さくなることはしません。

  • 残りポイント大きい方が勝ちとなり、勝ったほうは、2枚のカードの残りポイントの和ポイントとする新たなカードを手に入れ、負けたほうはカードを失います。

  • 何回か対戦を続け、手持ちのカードが無くなったら負けです。

さて、君は最初に20ポイントを、15に分けました。君も振り分け終わって、どちらのカードを出そうか作戦を考えています。

君:「君が15に振り分けたとすると、どうやら勝てそうだ。ただし、カードを出す順番を間違えると負ける可能性もある。」

では、君が最初に振り分けた2つの整数は?大きい方の数で答えてください。


2.解答例1(sodoさん、小杉原啓さん、きょえぴさん、高橋道広さん、CRYING DOLPHINさん、中村明海さん、圭太さん、N.Nishiさん、とらいしくるさん、他多数)

A君はac(a≧c、a+c=20)、君はbd(b≧d、b+d=20)に振り分けるとします。
 (ただし、b>a=10)

 図1

(1)B君に必勝法があること

b>a,cなので、B君は、最初にbのカードを出せば必ず勝ちます。
新しく得るカードの数b'は、

  • A君がaを出したとき・・・a-b/2>15-20/2>0だから、
    b'=(b+a)/2>a>c

  • A君がcを出したとき・・・c-b/2<5-10/2=0だから、
    b'=b-c/2 となります。

もしb≧18なら、b'=b-c/2=b-2.5>a=15となるので、次にB君はb'を出せば必ず勝ち、ここで勝負が決まります。

もしb=17、18なら、b'=b-c/2=b-2.5<a=15となるので、
最初にA君がaを出したときは、次にB君はb'を出せばA君の出すcより大きいので必ず勝ち、勝負あり。

ところが、最初にA君がcを出したときは、次にB君はb'を出してもA君の出すaより小さいので負けます。

そこで、2度目はb'でなくdを出すことにします。
すると、この回はA君が勝ち、新たにa'=a-d/2を得ます。

三度目の勝負は、A君が最後に残ったa'、B君がb'を出します。
 b'-a'=(b-c/2)-(a-d/2)=(b-a)-(c-d)/2
    =(b-a)-(b-a)/2=(b-a)/2>0
よって、B君の勝ちとなります。

(2)b=16、17のとき、B君は下手をすると負ける可能性があること

最初は、A君がc、B君がbを出し、B君の勝ち、b'=b-c/2とします。

次に、A君が残ったa、B君は続いてb'を出したとします。
A君の勝ちで、a'=(a+b')/2>a/2>dとなるので、
最後の勝負では、B君の出すdはA君のa'に勝てません。

(3)b≧18のとき、B君はどんな手順でカードを出しても必ず勝つこと。

  • B君が最初bを出す場合
    A君がa,cどちらを出してもB君の勝ち。
    (ア)2度目はB君はb'を出せば、B君の連勝で勝負あり。

    (イ)2度目にB君がdを出したとき、この回はB君の負け。
     A君が得るカードは、
     (i)最初A君がaを出したとき、c'=c-d/2またはc'=(c+d)/2
     (ii)最初A君がcを出したとき、a'=a-d/2

    最後の勝負は、A君はa'またはc'、B君はb'です。
    ところが、b>a>a'、b>c>c'なので、B君の勝ちで勝負あり。

  • B君が最初dを出す場合
    A君がa,cどちらを出してもA君の勝ちで、a'またはc'を新たに得ます。

    A君の持つ2枚のカードは、最初の状態よりもいずれかは小さくなっています。従って、B君は残ったbのカードで連勝可能です。

以上より、手順良く出せば必勝だが、手順を間違えると負ける可能性があるのは、b=16、17のときと分かります。

答:16または17

以上